مراجعة الفصل الأول: العزوم والقوى المتوازية والاتزان والازدواجات
الأسبوع 15 · Term 1 review: moments, parallel forces and equilibrium of rods and ladders, couples · 3 دروس
1
مراجعة: عزم القوة بالإحداثيات وبالذراع، ونظرية العزوم، وتساوي العزمين حول نقطتين
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Units 1–3, Review
Goalراجع عزم القوة حول نقطة ونظرية العزوم وماذا يدل عليه تساوي العزمين أو تضادهما حول نقطتين، بمسائل جديدة.
New words
عزم القوة · |M| = F × L حيث L البعد العمودي من النقطة إلى خط العمل؛ وM = x Fy − y Fx لقوة عند (x, y)؛ عكس عقارب الساعة موجبنظرية العزوم · لقوى تؤثر في نقطة واحدة يساوي مجموع عزومها حول أي نقطة عزم محصلتها
Explanation
الأسابيع من ٢ إلى ٤ في صفحة واحدة. (١) عزم قوة حول نقطة O يساوي F × L حيث L البعد العمودي من O إلى خط العمل؛ عكس عقارب الساعة موجب وفي اتجاهها سالب. (٢) بالإحداثيات يكون عزم القوة (Fx, Fy) المؤثرة عند (x, y) حول نقطة الأصل x Fy − y Fx؛ ولنقطة أخرى نقيس x وy منها. (٣) فارينيون: عزم القوة يساوي مجموع عزمي مركبتيها. (٤) نظرية العزوم: لقوى تؤثر في نقطة واحدة يساوي مجموع عزومها حول أي نقطة عزم محصلتها R = ΣF. (٥) العزم حول نقطة على خط العمل صفر. (٦) إذا تساوى عزما النظام نفسه حول نقطتين A وB فخط عمل المحصلة يوازي AB؛ وإذا تساويا في المقدار واختلفا في الإشارة فهو يمر بمنتصف AB. الوحدات: N·m وN·cm.
Worked examples
تؤثر القوة F = (−٦, ٨) N عند A(٣, ٢) (الإحداثيات بالمتر). (أ) أوجد عزمها حول O (عكس عقارب الساعة موجب) والذراع. (ب) أوجد عزمها حول C(٠, ٦) وفسّر الإجابة. الحل: (أ) M = x Fy − y Fx = ٣ × ٨ − ٢ × (−٦) = ٢٤ + ١٢ = +٣٦ N·m عكس عقارب الساعة. |F| = √(٣٦ + ٦٤) = ١٠ N فالذراع L = ٣٦ / ١٠ = ٣٫٦ m. (ب) موضع A بالنسبة إلى C هو (٣, −٤): M = ٣ × ٨ − (−٤)(−٦) = ٢٤ − ٢٤ = ٠. العزم صفر لأن C على خط العمل: الخط يخرج من A في الاتجاه (−٦, ٨) أي (−٣, ٤) وA + (−٣, ٤) = (٠, ٦) = C.
تؤثر القوتان F₁ = (٢, ٣) N وF₂ = (٤, −١) N عند A(١, ٢) (بالمتر). أوجد عزمي F₁ وF₂ وعزم المحصلة R حول B(٠, ٤) وحول C(٣, ٥) (عكس عقارب الساعة موجب). ماذا تدل النتيجة على خط عمل R؟ الحل: R = (٦, ٢). حول B المتجه من B إلى A هو (١, −٢): F₁ تعطي ١ × ٣ − (−٢)(٢) = ٧ وF₂ تعطي ١ × (−١) − (−٢)(٤) = ٧ وR تعطي ١ × ٢ − (−٢)(٦) = ١٤ = ٧ + ٧. حول C المتجه من C إلى A هو (−٢, −٣): F₁ تعطي (−٢)(٣) − (−٣)(٢) = ٠ وF₂ تعطي (−٢)(−١) − (−٣)(٤) = ١٤ وR تعطي (−٢)(٢) − (−٣)(٦) = ١٤ = ٠ + ١٤. العزمان حول B وC متساويان (١٤ N·m) فـR توازي BC؛ فعلًا BC = (٣, ١) وR = (٦, ٢) = ٢ × (٣, ١).
Class activity
أمسك مسطرة من أحد طرفيها وادفع طرفها الآخر بإصبع عموديًا عليها ثم بميل. لاحظ أي الدفعتين تديرها بسهولة أكبر وفسّر ذلك بـF × L. ثم ادفعها على طول امتدادها: لماذا لا تدور؟
Practice
1
تؤثر قوة ٤٠ N عند طرف مفتاح ربط طوله ٠٫٢٥ m بزاوية ٣٠° مع المفتاح. أوجد مقدار عزمها حول الصامولة.
قوة مركبتاها ١٢٠ N إلى اليمين و٥٠ N إلى أعلى تؤثر عند النقطة (٢, ٣) m. استعمل المركبتين لإيجاد عزمها حول نقطة الأصل (عكس عقارب الساعة موجب) وذراعها.
تؤثر القوة F = (١, ٢) N عند A(٠, ٠). أوجد عزميها حول B(٣, ٠) وC(−١, ٤) (عكس عقارب الساعة موجب). ماذا تستنتج؟
حول B: المتجه (−٣, ٠): (−٣)(٢) − ٠ = −٦. حول C: المتجه (١, −٤): ١ × ٢ − (−٤)(١) = +٦. متساويان في المقدار ومتضادان في الإشارة فالخط يمر بمنتصف BC وهو (١, ٢) (تحقق: يقع على y = ٢x).
5
لقوة عزم صفري حول نقطة P. ماذا تقول عن القوة أو عن خط عملها؟
إما أن تكون القوة صفرًا أو أن تقع P على خط عملها (الذراع صفر).
