الأسبوع 8 · Equilibrium of coplanar forces: the two conditions (zero resultant and zero moment), a board on two supports, and a rod on two strings · 3 دروس
1
شرطا اتزان جسم متماسك تحت تأثير قوى مستوية: X = 0 وY = 0 وM = 0، ولماذا لا يكفي أحدهما
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2, Part 1
Goalأذكر شروط اتزان جسم متماسك ΣX = ٠ وΣY = ٠ وΣM = ٠ وأفسر لماذا نحتاج إلى شرط القوى وشرط العزوم معًا.
New words
الجسم المتماسك · جسم لا يتغير شكله مثل القضيب أو اللوحرد الفعل · القوة التي يؤثر بها الحامل أو الحائط في الجسمالاتزان · يبقى الجسم ساكنًا: لا يتحرك ولا يدور
Explanation
يكون الجسم المتماسك تحت تأثير قوى مستوية في حالة اتزان عندما يتحقق شرطان. (١) محصلة القوى تساوي صفرًا. وبتحليل كل قوة إلى مركبة أفقية (في اتجاه i) ومركبة رأسية (في اتجاه j) يعني ذلك ΣX = ٠ وΣY = ٠ حيث X وY مجموعا المركبتين الأفقية والرأسية. وإذا كانت القوى كلها رأسية فالشرط المهم هو ΣY = ٠ فقط. (٢) مجموع العزوم حول نقطة واحدة يساوي صفرًا ΣM = ٠ (عكس عقارب الساعة موجب ومع عقاربها سالب). لماذا نحتاج إلى الشرطين معًا؟ قوتان متساويتان متضادتان على خطين مختلفين مجموعهما ΣF = ٠ ومع ذلك تكوّنان ازدواجًا ويدور الجسم (انظر الجدول). وقوة واحدة تمر بالنقطة O مجموع عزومها حول O يساوي صفرًا ومع ذلك تدفع الجسم أمامها. ولا يحدث شيء إلا إذا تحقق الشرطان معًا. عادة نافعة: نأخذ العزوم حول النقطة التي تؤثر فيها أكثر القوى المجهولة لأن القوة المارة بالنقطة المختارة عزمها صفر فتختفي من المعادلة.
القوى على القضيب
ΣF
ΣM حول O
ما يحدث
قوتان متساويتان متضادتان على خطين مختلفين
٠
لا تساوي ٠
يدور القضيب (ازدواج)
قوة واحدة مارة بالنقطة O
لا تساوي ٠
٠
يتحرك القضيب
المجموعان يساويان ٠
٠
٠
اتزان
Worked examples
قضيب خفيف AB طوله ٨٠ cm يرتكز أفقيًا على حاملين عند A وB ويحمل ٣٠ N على بعد ٢٠ cm من A و٥٠ N على بعد ٦٠ cm من A. أوجد ردّي الفعل RA وRB. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. نأخذ العزوم حول A فيختفي RA: −٣٠ × ٢٠ − ٥٠ × ٦٠ + ٨٠ RB = ٠ فيكون RB = ٣٦٠٠ / ٨٠ = ٤٥ N. القوى الرأسية: RA + RB − ٣٠ − ٥٠ = ٠ فيكون RA = ٣٥ N. التحقق بالعزوم حول B: ٣٥ × ٨٠ − ٣٠ × ٦٠ − ٥٠ × ٢٠ = ٢٨٠٠ − ١٨٠٠ − ١٠٠٠ = ٠.
هل القضيب التالي في اتزان؟ قضيب عليه ١٠ N إلى أعلى عند A و١٠ N إلى أسفل عند B والبعد بينهما ٦ cm (الشكل). الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. ΣY = ١٠ − ١٠ = ٠ فالشرط الأول متحقق. العزوم حول A: ٦ × (−١٠) = −٦٠ N·cm لا تساوي الصفر. إذن القضيب ليس في اتزان: يدور مع عقارب الساعة. الحالة الثانية: ثقلان ١٠ N يتدليان على بعد ٠٫٤ m يسار النقطة O و٠٫٤ m يمينها من قضيب لا يسنده شيء. حول O: (−٠٫٤)(−١٠) + (٠٫٤)(−١٠) = ٠ فشرط العزوم متحقق لكن ΣY = −٢٠ N فيسقط القضيب. نحتاج إلى حامل يعطي ٢٠ N إلى أعلى عند O.
Class activity
ضع مسطرة على كوبين ورقيين تحت طرفيها وضع قطعة نقدية على بعد ٥ cm من الطرف الأيسر. اضغط برفق على الكوب الأيسر بأطراف أصابعك ثم على الكوب الأيمن: أي الكوبين يحس بالحمل الإضافي أكثر؟ انقل القطعة إلى المنتصف وقارن. (استعمل قطعة نقدية فقط ولا تضع شيئًا ثقيلًا على كوب تمسكه.)
Practice
1
الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. قضيب خفيف AB طوله ٦٠ cm يرتكز على حاملين عند A وB ويحمل ٢٤ N على بعد ١٥ cm من A. أوجد RA وRB.
الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. على قضيب خفيف ١٥ N إلى أعلى عند A و٢٥ N إلى أعلى عند B (على بعد ١٠ cm من A) وقوة ٤٠ N إلى أسفل عند C حيث AC = x. لأي قيمة من x يتزن القضيب؟
