الأسبوع 9 · Equilibrium of coplanar forces: a non-uniform board, rods and loads with unknown forces, and a bar on rough ground and a smooth wedge · 3 دروس
1
لوح غير منتظم على حاملين: إيجاد وزنه ونقطة تأثير وزنه من وضعي الاختلال الوشيك
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2, Part 2
Goalأوجد وزن لوح غير منتظم وخط عمل وزنه من الوضعين اللذين يقف عندهما شخص فيصبح اللوح على وشك الاختلال.
New words
غير منتظم · وزنه لا يؤثر عند المنتصف فنسمّي بعد خط عمله x ونوجدهعلى وشك الاختلال · اللوح على وشك الدوران حول أحد الحاملين؛ وقد أصبح رد فعل الحامل الآخر صفرًا
Explanation
يرتكز لوح AB على حاملين C وD. وزن اللوح المنتظم عند منتصفه، أما غير المنتظم ففيه مجهولان: وزنه w وبعد خط عمل وزنه x عن أحد طرفيه. والحيلة هي فكرة «على وشك الاختلال». إذا مشى شخص إلى ما بعد الحامل D نحو B فإن اللوح يكون على وشك الدوران حول D في اللحظة التي يصبح فيها رد فعل C صفرًا. عندئذ لا تؤثر إلا ثلاث قوى هي الوزن والشخص ورد فعل D، ويجب أن يلغي عزوم القوى بعضها حول D. وبالمثل عندما يمشي الشخص إلى ما بعد C نحو A يكون اللوح على وشك الدوران حول C ورد فعل D صفرًا. يعطي كل وضع معادلة فيها w وx، وبالوضعين نحصل على معادلتين. وبجمع معادلتي العزوم أو بالقسمة نجد w. اصطلاح الإشارة في الحسابات التالية: نكتب العزوم بمقاديرها، فعزم الشخص يساوي عزم اللوح حول الحامل نفسه.
Worked examples
لوح غير منتظم AB طوله ٦ m يرتكز على حاملين عند C وD حيث AC = ١ m وAD = ٤ m. يمشي عليه رجل وزنه ٤٠٠ N. يستطيع أن يبلغ نقطة تبعد ٤٫٩ m عن A قبل أن يختل اللوح حول D، وأن يبلغ نقطة تبعد ٠٫٤ m عن A (في الاتجاه الآخر) قبل أن يختل حول C. أوجد وزن اللوح w وبعد خط عمل وزنه x عن A. على وشك الاختلال حول D: RC = ٠ والعزوم حول D تعطي ٤٠٠ × (٤٫٩ − ٤) = w × (٤ − x) أي ٣٦٠ = w(٤ − x) (١). على وشك الاختلال حول C: RD = ٠ و٤٠٠ × (١ − ٠٫٤) = w × (x − ١) أي ٢٤٠ = w(x − ١) (٢). بالجمع: ٦٠٠ = ٣w فيكون w = ٢٠٠ N. من (٢): x − ١ = ١٫٢ فيكون x = ٢٫٢ m من A. التحقق من (١): ٢٠٠ × ١٫٨ = ٣٦٠.
للوح نفسه (w = ٢٠٠ N يؤثر على بعد ٢٫٢ m من A) هل يستطيع الرجل ٤٠٠ N أن يقف بأمان عند الطرف A؟ الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. نأخذ العزوم حول C والرجل على بعد ١ m يسار C والوزن على بعد ١٫٢ m يمينها. لنفرض أن اللوح لا يختل: ٣RD + (−١)(−٤٠٠) + (١٫٢)(−٢٠٠) = ٠ أي ٣RD + ٤٠٠ − ٢٤٠ = ٠ فيكون RD = −٥٣٫٣ N. لا يستطيع الحامل أن يشد إلى أسفل فالقيمة RD = −٥٣٫٣ N مستحيلة: يختل اللوح حول C. يجب أن يبقى الرجل على بعد ٠٫٤ m على الأقل من A.
Class activity
ضع مسطرة على ممحاتين تبعدان ١٠ cm عن بعضهما على المكتب بحيث يبرز جزء صغير من المسطرة فوق كل ممحاة. ضع قطعة نقدية على الطرف البارز من جهة وحرّكها إلى الخارج حتى تبدأ المسطرة بالاختلال وسجّل البعد بعد الممحاة. افعل الشيء نفسه من الجهة الأخرى. إذا اختلف البعدان فأين تظن أن يؤثر وزن المسطرة؟ (قطع نقدية فقط وأبعد أصابعك.)
Practice
1
لوح غير منتظم AB طوله ٥ m ووزنه ١٥٠ N يؤثر على بعد ٢ m من A. يرتكز على حاملين عند C وD حيث AC = ١ m وAD = ٤ m. ما أكبر ثقل P يمكن وضعه عند الطرف B قبل أن يختل اللوح حول D؟ نأخذ العزوم بمقاديرها حول D.
للوح نفسه هل يستطيع طفل وزنه ٣٠٠ N أن يقف عند الطرف A؟ الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب؛ نأخذ العزوم حول C.
الطفل على بعد ١ m يسار C والوزن على بعد ١ m يمينها: ٣RD + ٣٠٠ − ١٥٠ = ٠ يعطي RD = −٥٠ N وهذا مستحيل. يختل اللوح حول C فلا يستطيع الطفل الوقوف عند A.
3
لوح غير منتظم يرتكز على حاملين C وD والبعد بينهما ٢ m. يستطيع رجل وزنه ٣٠٠ N أن يقف على بعد ٠٫٦ m بعد D (قبل أن يختل حول D) وعلى بعد ٠٫٤ m بعد C من الجهة الأخرى (قبل أن يختل حول C). أوجد وزن اللوح وبعد خط عمل وزنه عن C.
نفرض y بعد خط العمل عن C: ٣٠٠ × ٠٫٦ = w(٢ − y) و٣٠٠ × ٠٫٤ = w y. بالجمع: ٣٠٠ = ٢w فيكون w = ١٥٠ N وy = ١٢٠ / ١٥٠ = ٠٫٨ m من C.
4
في اللحظة التي يكون فيها اللوح على وشك الاختلال حول D كم يساوي رد فعل الحامل الآخر C ولماذا؟
يساوي صفرًا: اللوح يكاد يرتفع عن C فلا يدفعه C بعد الآن.
5
لوح وزنه ٢٠٠ N يقف عليه رجل وزنه ٤٠٠ N في الموضع الذي يكون فيه اللوح على وشك الاختلال حول D. أوجد RD.
RC = ٠ فيكون RD = ٢٠٠ + ٤٠٠ = ٦٠٠ N من اتزان القوى الرأسية.
