الأسبوع 10 · Equilibrium of coplanar forces: ladders on rough ground and a smooth wall, a ladder held by a rope, and a rod about to slip · 3 دروس
1
سلم على أرض خشنة وحائط أملس: الاحتكاك عند الأرض وأقصى مسافة يصعدها شخص قبل أن ينزلق السلم، مع إكمال الحل
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2, Part 3
Goalأوجد المسافة التي يستطيع شخص صعودها على سلم يرتكز على أرض خشنة وحائط أملس، وأقل معامل احتكاك لازم.
New words
حائط أملس · الحائط لا يدفع إلا عموديًا عليه فرد فعله S أفقياحتكاك حدّي · أكبر احتكاك F = μN؛ السلم على وشك الانزلاق
Explanation
سلم منتظم AB وزنه W يرتكز بطرفه A على أرض خشنة وبطرفه B على حائط أملس. نضع الحائط على اليمين، والاتجاه إلى أعلى وإلى اليمين موجب في جمع القوى، والعزوم عكس عقارب الساعة موجبة. القوى: الوزن W عند منتصف السلم، ووزن الرجل P عند نقطة من السلم، ورد فعل الأرض N إلى أعلى عند A، والاحتكاك F عند A على الأرض نحو الحائط، ورد فعل الحائط S عند B أفقي وبعيد عن الحائط (إلى اليسار). رأسيًا: N = W + P. أفقيًا: F = S. العزوم حول A تُخفي N وF وتبقي S. نأخذ سلمًا طوله ٥ m وقدمه تبعد ٣ m عن الحائط وقمته ارتفاعها ٤ m (مثلث ٣-٤-٥). إذا كان الرجل عند الكسر f من الطول (أي على بعد s = ٥f متر من A) فإن S × ٤ = W × ١٫٥ + P × ٣f فينتج S = ٠٫٧٥(W/٢ + Pf). يبقى السلم قائمًا ما دام F ≤ μN، والحد F = μN يعطي أعلى موضع للرجل.
Worked examples
سلم طوله ٥ m ووزنه ١٦٠ N تبعد قدمه ٣ m عن حائط أملس (القمة على ارتفاع ٤ m) على أرض خشنة μ = ١/٢. يصعده رجل وزنه ٢٠٠ N. إلى أي مسافة على السلم يستطيع الصعود؟ (الحائط على اليمين؛ إلى أعلى وإلى اليمين وعكس عقارب الساعة موجب.) الخطوة ١: N = ١٦٠ + ٢٠٠ = ٣٦٠ N. الخطوة ٢: الاحتكاك الحدّي F = (١/٢)(٣٦٠) = ١٨٠ N فيكون S = ١٨٠ N. الخطوة ٣: العزوم حول A: ١٨٠ × ٤ − ١٦٠ × ١٫٥ − ٢٠٠ × ٣f = ٠ أي ٧٢٠ = ٢٤٠ + ٦٠٠f. الخطوة ٤: f = ٠٫٨ فيكون s = ٤ m من القدم.
أسند مسطرة طويلة إلى كتاب قائم على مكتب (الكتاب هو الحائط) وقارن مقدار انحدارها اللازم لتبقى قائمة بوجود قطعة نقدية قرب قمتها وبدونها. أي الحالتين تنزلق أولًا؟
Practice
1
السلم ١٦٠ N (طوله ٥ m وقدمه تبعد ٣ m عن الحائط وقمته على ارتفاع ٤ m) يقف على أرض خشنة بلا رجل. أوجد S وأقل μ.
