الأسبوع 14 · Resultant couple: the three-point rule, the sum of several couples, and the exercises of Lesson 3-2 · 3 دروس
1
قاعدة النقاط الثلاث: إذا كان مجموع العزوم حول ثلاث نقط ليست على استقامة واحدة ثابتًا لا يساوي صفرًا فالنظام يكافئ ازدواجًا عزمه هذا الثابت
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2, Part 2
Goalاستعمل قاعدة النقاط الثلاث: إذا تساوى مجموع العزوم غير الصفري حول ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة فالنظام ازدواج عزمه هذا المجموع.
New words
قاعدة النقاط الثلاث · إذا كان MA = MB = MC = M ≠ ٠ لثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة فالنظام ازدواج عزمه Mليست على استقامة واحدة · النقاط A وB وC رؤوس مثلث (غير مستقيمة)
Explanation
أحيانًا يصعب أن نرى هل محصلة مجموعة قوى تساوي صفرًا. وهذا اختبار لا يتطلب إيجاد R: نأخذ مجموع العزوم حول ثلاث نقاط A وB وC ليست على استقامة واحدة. فإذا تساوت المجاميع الثلاثة وكانت تساوي العدد نفسه M ≠ ٠ فالنظام ازدواج عزمه M. لماذا؟ لو لم تكن R صفرًا لكان النظام قوة واحدة، وعزم القوة الواحدة حول نقطة يساوي القوة مضروبة في بعد النقطة عن خط عملها، ويكون موجبًا أو سالبًا بحسب جهة الخط. ثلاثة عزوم متساوية تعني ثلاث نقاط على بعد واحد من الخط وفي جهة واحدة منه، أي تقع على خط يوازي القوة. لكن A وB وC ليست على استقامة واحدة، فلا بد أن تكون R صفرًا، والنظام الذي فيه R = ٠ وعزمه M ≠ ٠ ازدواج عزمه M. لاحظ أن عزمين متساويين لا يكفيان: فهما يدلان فقط على أن R توازي AB أو أن R = ٠. اصطلاح الإشارة: عكس عقارب الساعة موجب.
Worked examples
ABCD مستطيل فيه AB = ٨ cm وBC = ٦ cm. تؤثر قوى ١٠ N على AC (من A إلى C) و٨ N على CD (من C إلى D) و٦ N على DA (من D إلى A). استعمل العزوم حول A وB وD لتبيّن أن النظام ازدواج (عكس عقارب الساعة موجب). الحل: نضع A في نقطة الأصل وB(٨, ٠) وC(٨, ٦) وD(٠, ٦) ونكتب القوى (٨, ٦) عند A و(−٨, ٠) عند C و(٠, −٦) عند D. حول A: ٠ + [٠ × ٠ − ٦ × (−٨)] + ٠ = ٤٨. حول B: القوة الأولى تعطي (−٨)(٦) − ٠ = −٤٨ والثانية ٠ − ٦ × (−٨) = +٤٨ والثالثة (−٨)(−٦) − ٠ = ٤٨: المجموع ٤٨. حول D: الأولى ٠ − (−٦)(٨) = ٤٨ والثانية ٠ والثالثة ٠: المجموع ٤٨. المجاميع حول A وB وD (ليست على استقامة واحدة) كلها +٤٨ N·cm: ازدواج عزمه +٤٨ N·cm (عكس عقارب الساعة).
المجموعة
MA
MB
MC
١
٣٠
٣٠
٣٠
٢
٢٠
٢٠
٨
٣
٠
٠
٠
ثلاثة نظم من القوى المستوية مجموع عزومها حول ثلاث نقاط A وB وC (ليست على استقامة واحدة) مبيّن بالجدول بالنيوتن·سنتيمتر. ماذا تقول عن كل منها؟ الحل: النظام ١: ٣٠ و٣٠ و٣٠: متساوية وغير صفرية فهو ازدواج عزمه +٣٠ N·cm. النظام ٢: ٢٠ و٢٠ و٨: عزما A وB متساويان لكن عزم C يخالفهما فليس ازدواجًا، وإن كانت R ≠ ٠ فهو قوة واحدة توازي AB. النظام ٣: ٠ و٠ و٠: لا بد أن تكون R صفرًا (إذ لا تمر قوة بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة) فالنظام في حالة اتزان.
Class activity
ارسم مثلثًا على ورق مربعات وسمِّ رؤوسه A وB وC. ارسم على كل ضلع بالتتابع قوة طولها ٣ مربعات (الثلاث تدور حول المثلث في اتجاه واحد؛ والأضلاع ٣ و٤ و٥ مربعات فلن تُغلق، وهذه حالة R ≠ ٠). احسب مجموع العزوم حول A وB وC بعدّ المربعات: لن تكون كلها متساوية. ثم غيّر القوى إلى ٣ و٤ و٥ مربعات على الأضلاع وتحقق من أن المجاميع الثلاثة صارت متساوية.
Practice
1
نظام فيه MA = ١٨ وMB = ١٨ وMC = ١٨ N·m حول ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. ما هذا النظام؟ وماذا لو كانت MC = ٦ بدلًا من ذلك؟
كلها متساوية وغير صفرية: ازدواج عزمه ١٨ N·m (عكس عقارب الساعة). وإذا كانت MC = ٦ فليس ازدواجًا: تساوي العزمين حول A وB يعني قوة واحدة توازي AB.
2
القوى (٨, ٠) N عند A(٠, ٠) و(−٨, ٦) N عند B(٤, ٠) و(٠, −٦) N عند C(٠, ٣) تؤثر في مستوٍ (بالمتر). أوجد مجموع العزوم حول A وحول B وحول D(٤, ٣) وحدد ما هو النظام (عكس عقارب الساعة موجب).
مجاميع العزوم (عكس عقارب الساعة موجب) حول ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة هي ١٥ و١٥ و٩ N·cm. هل يمكن أن يكون النظام ازدواجًا؟ وماذا يمكن أن يكون؟
لا يمكن أن يكون ازدواجًا (المجاميع الثلاثة غير متساوية). وتساوي العزمين حول نقطتين يعني قوة واحدة توازي الخط الواصل بينهما.
4
لماذا يجب ألا تكون النقاط الثلاث على استقامة واحدة؟ أعطِ مثالًا لقوة واحدة لها عزوم متساوية حول ثلاث نقاط على استقامة واحدة.
القوة الموازية للخط تبعد البعد نفسه عن كل نقاطه فعزومها حولها كلها متساوية، ومع ذلك هي قوة واحدة لا ازدواج. مثلًا قوة ٥ N في اتجاه محور السينات الموجب على الخط y = ٢ لها العزم −١٠ حول كل نقطة على المحور (عكس عقارب الساعة موجب).
5
في المستطيل ABCD الضلع AB = ٨ cm وBC = ٦ cm، تؤثر قوتان ٦ N من A إلى B ومن C إلى D، وقوتان ٤ N من B إلى C ومن D إلى A. أوجد مجموع العزوم حول A وحول C (عكس عقارب الساعة موجب). ما هذا النظام؟
حول A: ٤ × ٨ (القوة عند B) + ٦ × ٦ (القوة عند C) = ٣٢ + ٣٦ = ٦٨. حول C: ٦ × ٦ (القوة عند A) + ٤ × ٨ (القوة عند D) = ٣٦ + ٣٢ = ٦٨. كلاهما +٦٨ N·cm والمحصلة صفر: ازدواج عزمه ٦٨ N·cm عكس عقارب الساعة.
