الأسبوع 14 · Resultant couple: the three-point rule, the sum of several couples, and the exercises of Lesson 3-2 · 3 دروس
3
تمارين الدرس: أي النظم تكافئ ازدواجًا، وقوى على المستطيل والمعين والمضلعات المنتظمة، وإيجاد القوة المجهولة
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2, Part 2
Goalطبّق قواعد الازدواج على تمارين الدرس: حدد هل النظام ازدواج، وأوجد العزم لقوى على مستطيل ومعين ومضلعات منتظمة، وأوجد القوة المجهولة.
New words
قائمة التحقق · (١) هل R = ٠؟ (٢) هل ΣM ≠ ٠؟ إذا كان الجوابان نعم فالنظام ازدواج عزمه ΣMمضلع منتظم · أضلاعه متساوية وزواياه متساوية؛ مساحته = ½ × المحيط × الأبوثم (بعد المركز عن الضلع)
Explanation
قائمة تحقق لنظام قوى: (١) هل R = ٠؟ اجمع المركبات السينية والمركبات الصادية. (٢) إذا كانت R = ٠ فهل عزم النظام حول نقطة لا يساوي صفرًا؟ إذا كان كذلك فهو ازدواج وعزمه واحد حول أي نقطة. (٣) إذا كانت القوى على أضلاع شكل مغلق بالترتيب ومتناسبة مع الأضلاع فاستعمل M = ٢ × المساحة × m، موجبًا إذا كان ترتيب الشكل عكس عقارب الساعة. (٤) في القوة المجهولة نستعمل R = ٠ لمركباتها أولًا ثم العزم. مساحات تحتاجها: المستطيل: الطول × العرض؛ المعين: ½ × حاصل ضرب القطرين أو مربع الضلع × جيب زاوية؛ السداسي المنتظم: (٣√٣/٢) × مربع الضلع؛ المضلع المنتظم ذو n ضلعًا: ½ × المحيط × الأبوثم، والأبوثم = الضلع / (٢ tan(١٨٠°/n)).
Worked examples
المعين ABCD قطراه AC = ١٦ cm وBD = ١٢ cm وترتيب A وB وC وD عكس عقارب الساعة. تؤثر قوة ٢٠ N على كل ضلع بالترتيب AB وBC وCD وDA. أوجد الازدواج المحصل. الحل: القطران ينصف أحدهما الآخر ويتعامدان فطول الضلع √(٨² + ٦²) = ١٠ cm. m = ٢٠ / ١٠ = ٢ N لكل cm. المساحة ½ × ١٦ × ١٢ = ٩٦ cm². M = ٢ × ٩٦ × ٢ = +٣٨٤ N·cm (عكس عقارب الساعة).
المستطيل ABCD فيه AB = ١٥ cm وBC = ٨ cm. تؤثر قوتان ٦ N من A إلى B ومن C إلى D، وقوة ٤ N من B إلى C، وقوة P نيوتن من D إلى A. النظام يكافئ ازدواجًا. أوجد P والعزم (عكس عقارب الساعة موجب). الحل: R = ٠. المركبات السينية: ٦ − ٦ = ٠. المركبات الصادية: القوة ٤ N إلى أعلى (من B إلى C) والقوة P إلى أسفل (من D إلى A): ٤ − P = ٠ فتكون P = ٤ N. العزم: زوج ٦ N يعطي +٦ × ٨ = +٤٨ N·cm (عكس عقارب الساعة) وزوج ٤ N يعطي +٤ × ١٥ = +٦٠ N·cm (الضلع الأيمن إلى أعلى والأيسر إلى أسفل). المجموع +١٠٨ N·cm.
Class activity
قصّ من الكرتون معينًا قطراه ٨ cm و٦ cm. قِس ضلعه (يجب أن يكون ٥ cm). ارسم سهمًا طوله ٥ وحدات على كل ضلع بالترتيب حوله. احسب الازدواج ٢ × المساحة × m باستعمال المساحة = ½ × ٨ × ٦ = ٢٤ وm = ١.
Practice
1
مخمس منتظم ضلعه ٦ cm (ترتيبه عكس عقارب الساعة) تؤثر قوة ٩ N على كل ضلع بالترتيب. إذا كانت مساحته نحو ٦١٫٩٤ cm² فأوجد عزم الازدواج لأقرب منزلة عشرية.
m = ٩ / ٦ = ١٫٥ N لكل cm. M = ٢ × ٦١٫٩٤ × ١٫٥ ≈ ١٨٥٫٨ N·cm.
2
معين ABCD (ترتيبه عكس عقارب الساعة) ضلعه ١٣ cm والقطر AC = ٢٤ cm. تؤثر قوة ٢٦ N على كل ضلع بالترتيب. أوجد عزم الازدواج.
المربع ABCD ضلعه ١٠ cm. تؤثر قوى على AB (من A إلى B) مقدارها ١٢ N، وعلى CD (من C إلى D) مقدارها x نيوتن، وعلى BC (من B إلى C) مقدارها ٧ N، وعلى DA (من D إلى A) مقدارها y نيوتن. النظام يكافئ ازدواجًا. أوجد x وy والعزم (عكس عقارب الساعة موجب).
على المستطيل ABCD أي هذه الأنظمة ازدواج؟ (أ) ٦ N من A إلى B و٦ N من D إلى C؛ (ب) ٦ N من A إلى B و٦ N من C إلى D؛ (ج) ٦ N من A إلى B و٦ N من B إلى A.
(أ) القوتان في الاتجاه نفسه وR = ١٢ N: ليس ازدواجًا. (ب) متساويتان ومتضادتان على خطين مختلفين: ازدواج. (ج) متساويتان ومتضادتان على خط واحد: العزم صفر واتزان.
5
المستطيل ABCD فيه AB = ٩ cm وBC = ٤ cm (عكس عقارب الساعة). تؤثر قوى متناسبة مع الأضلاع على AB وBC وCD وDA بالترتيب وتكوّن ازدواجًا عزمه ١٤٤ N·cm. أوجد القوى الأربع.
المساحة ٣٦ cm². ٢ × ٣٦ × m = ١٤٤ فيكون m = ٢. القوى: ١٨ N على AB وCD و٨ N على BC وDA.
