الأسبوع 14 · Resultant couple: the three-point rule, the sum of several couples, and the exercises of Lesson 3-2 · 3 دروس
2
الازدواج المحصل: مجموع عزوم عدة ازدواجات مستوية، ونماذج الذراع الثابتة واللوح والمربع
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2, Part 2
Goalاجمع عدة ازدواجات مستوية في ازدواج محصل واحد، واستعمله في نماذج مثل حامل ولوح ومربع.
New words
الازدواج المحصل · الازدواج الوحيد المكافئ لعدة ازدواجات، وعزمه M₁ + M₂ + …العزوم بإشاراتها · الازدواجات عكس عقارب الساعة موجبة والتي في اتجاهها سالبة
Explanation
تؤثر عدة ازدواجات في مستوٍ واحد على جسم. عزم الازدواج واحد حول أي نقطة ومجموع قوتي كل ازدواج صفر، فأثر الازدواجات كلها معًا ازدواج واحد عزمه مجموع العزوم: M = M₁ + M₂ + … + Mₙ بإشاراتها. هذا هو الازدواج المحصل. ويمكن تمثيله بأي قوتين وذراع يعطيان هذا العزم، مثلًا بقوتين F وذراع L = |M| / F في الاتجاه الذي تدل عليه إشارة M. وإذا كان M = ٠ فالجسم متزن (كما رأينا في الأسبوع السابق). الطريقة: (١) أوجد F × L لكل ازدواج؛ (٢) أعطِه + أو − من اتجاه دورانه؛ (٣) اجمع؛ (٤) اقرأ الاتجاه من إشارة المجموع.
Worked examples
الازدواج
القوة
الذراع
الاتجاه
العزم
١
٤٠ N
٠٫٥ m
عكس عقارب الساعة
+٢٠ N·m
٢
٢٥ N
١٫٢ m
في اتجاه عقارب الساعة
−٣٠ N·m
٣
٩٠ N
٠٫١٥ m
عكس عقارب الساعة
+١٣٫٥ N·m
يؤثر في حامل ثلاثة ازدواجات في مستواه (عكس عقارب الساعة موجب): ازدواج ٤٠ N وذراعه ٠٫٥ m عكس عقارب الساعة، وازدواج ٢٥ N وذراعه ١٫٢ m في اتجاه عقارب الساعة، وازدواج ٩٠ N وذراعه ٠٫١٥ m عكس عقارب الساعة. أوجد الازدواج المحصل واكتبه كازدواج قوتاه ٧ N. الحل: M = +٤٠ × ٠٫٥ − ٢٥ × ١٫٢ + ٩٠ × ٠٫١٥ = ٢٠ − ٣٠ + ١٣٫٥ = +٣٫٥ N·m. الازدواج المحصل ٣٫٥ N·m عكس عقارب الساعة. وبقوتين ٧ N يكون الذراع ٣٫٥ / ٧ = ٠٫٥ m.
في المستطيل ABCD الضلع AB = ٥٠ cm وBC = ٢٠ cm. تؤثر قوتان ١٤ N من A إلى B ومن C إلى D، وقوتان ٦ N من C إلى B ومن A إلى D. أوجد الازدواج المحصل وازدواجًا قوتاه ٥ N يجعل المستطيل متزنًا (عكس عقارب الساعة موجب). الحل: القوتان ١٤ N تدفعان الضلع السفلي إلى اليمين والعلوي إلى اليسار (عكس عقارب الساعة) والذراع BC = ٢٠ cm: +١٤ × ٢٠ = +٢٨٠ N·cm. والقوتان ٦ N تدفعان الضلع الأيمن إلى أسفل والأيسر إلى أعلى (في اتجاه عقارب الساعة) والذراع AB = ٥٠ cm: −٦ × ٥٠ = −٣٠٠ N·cm. الازدواج المحصل ٢٨٠ − ٣٠٠ = −٢٠ N·cm أي ٢٠ N·cm في اتجاه عقارب الساعة. وللاتزان نحتاج +٢٠ N·cm: ٥ × L = ٢٠ فيكون L = ٤ cm عكس عقارب الساعة.
Class activity
كوّن بيديك ثلاثة ازدواجات على غطاء زجاجة: واحدًا بإبهام وسبابة يدور به الغطاء عكس عقارب الساعة، وآخر بإبهام وسبابة اليد الأخرى يدور به في اتجاه عقارب الساعة، وثالثًا عكس عقارب الساعة بذراع أكبر أو أصغر. أي منها يعطي أكبر أثر دوراني؟ وماذا يخبرك مجموع الثلاثة عن الدوران الصافي للغطاء؟
Practice
1
على لوح ثلاثة ازدواجات (عكس عقارب الساعة موجب): ١٢ N وذراعه ٠٫٥ m عكس عقارب الساعة، و٨ N وذراعه ٠٫٧٥ m في اتجاه عقارب الساعة، و٣٠ N وذراعه ٠٫١ m عكس عقارب الساعة. أوجد الازدواج المحصل.
المربع ABCD ضلعه ٠٫٤ m. تؤثر قوتان ٣٠ N من A إلى B ومن C إلى D، وقوتان ١٠ N من C إلى B ومن A إلى D. أوجد الازدواج المحصل (عكس عقارب الساعة موجب).
