الأسبوع 12 · Couples: cancelling a couple, a hanging body with a couple acting on it, equivalent couples and the exercises of Lesson 3-1 · 3 دروس
2
جسم معلق من مسمار يؤثر فيه ازدواج: الوزن ورد فعل المسمار يكوّنان ازدواجًا يتزن به، فنحصل على وضع التعليق
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 1, Part 2
Goalأوجد وضع الاتزان لجسم معلق من مسمار أملس يؤثر فيه ازدواج، باستعمال الازدواج المكوَّن من الوزن ورد فعل المسمار.
New words
معلق من مسمار · الجسم حر الدوران حول المسمار A الذي يعطي رد فعل R مارًا بـAالوزن عند G · يؤثر الوزن W إلى أسفل في مركز G للجسم المنتظم (منتصف القضيب أو مركز المربع أو القرص)
Explanation
يتدلى جسم مستوٍ من مسمار أملس عند A في مستوٍ رأسي ويؤثر فيه ازدواج عزمه M في مستواه، فيدور حتى يستقر. في وضع الاتزان تؤثر فيه قوى: الوزن W عند G ورد فعل المسمار R عند A والازدواج. مجموع القوى صفر يعطي R = W إلى أعلى. والقوتان R (إلى أعلى مارة بـA) وW (إلى أسفل مارة بـG) متساويتان ومتضادتان فتكوّنان ازدواجًا. خطا عملهما رأسيان البعد بينهما AG sin θ حيث θ الزاوية بين AG والرأسي إلى أسفل. إذن عزم ازدواج الوزن ورد الفعل W × AG × sin θ ويجب أن يساوي الازدواج المؤثر ويعاكسه: W × AG × sin θ = |M| ومنه sin θ = |M| / (W × AG). تصلح زاويتان θ و١٨٠° − θ: G تحت A (اتزان مستقر وهو وضع التعليق المعتاد) أو G فوق A (اتزان لا يثبت ويسقط عند أدنى دفع). وإذا كان |M| > W × AG فلا توجد زاوية ويظل الجسم يدور. وللازدواج المؤثر عكس عقارب الساعة يجب أن يدور الوزن في اتجاه عقارب الساعة فتستقر G إلى يمين A.
Worked examples
قضيب منتظم AB طوله ٦٠ cm وكتلته ٠٫٨ kg مفصلي بلا احتكاك عند A ويتدلى في مستوٍ رأسي، ويؤثر فيه ازدواج ١٢٠ N·cm عكس عقارب الساعة. خذ g = ١٠. أوجد الزاوية بين AB والرأسي إلى أسفل ورد فعل المفصلة. الحل: الوزن ٠٫٨ × ١٠ = ٨ N وAG = ٣٠ cm. W × AG × sin θ = ١٢٠ يعطي ٨ × ٣٠ sin θ = ١٢٠ فيكون sin θ = ٠٫٥ وθ = ٣٠° (الحل الآخر ١٥٠° وضع غير مستقر والقضيب موجّه إلى أعلى). رد الفعل R = W = ٨ N إلى أعلى. يستقر القضيب وتقع G إلى يمين A.
لوح مربع منتظم ABCD ضلعه ٤٠ cm ووزنه ٥٠ N معلق من مسمار أملس عند الرأس A، ويؤثر فيه في مستواه ازدواج ١٠٠٠ N·cm عكس عقارب الساعة. أوجد θ الزاوية بين AC والرأسي إلى أسفل وأكبر ازدواج يستطيع أن يوازنه. الحل: AG تساوي نصف قطر المربع أي ٢٠√٢ cm. ٥٠ × ٢٠√٢ × sin θ = ١٠٠٠ يعطي sin θ = ١/√٢ فتكون θ = ٤٥° (أو ١٣٥° غير مستقرة). أكبر ازدواج عندما sin θ = ١: ٥٠ × ٢٠√٢ = ١٠٠٠√٢ ≈ ١٤١٤ N·cm.
Class activity
اقطع من الكرتون مربعًا واثقب قرب أحد رؤوسه ثقبًا صغيرًا. علّقه على قلم رصاص أفقي (بتركيب فضفاض). أين يتدلى القطر المار بالثقب حين لا يؤثر فيه شيء آخر؟ ثم أدِر البطاقة قليلًا بإصبع اليد الأخرى: تحاول العودة. كيف يشبه هذا الرجوع ازدواج الوزن ورد فعل المسمار؟
Practice
1
قضيب منتظم طوله ٤٠ cm ووزنه ٦ N مفصلي عند أحد طرفيه ويتدلى في مستوٍ رأسي ويؤثر فيه ازدواج ٧٢ N·cm عكس عقارب الساعة. أوجد θ من الرأسي إلى أسفل (لأقرب ٠٫١°) ورد فعل المفصلة.
AG = ٢٠ cm فيكون ٦ × ٢٠ × sin θ = ٧٢ وsin θ = ٠٫٦ وθ ≈ ٣٦٫٩°. رد الفعل ٦ N إلى أعلى.
2
ما أكبر ازدواج عكس عقارب الساعة يستطيع القضيب في السؤال ١ أن يوازنه؟ وما وضع القضيب حينئذ؟
W × AG × sin θ أكبر ما يمكن عندما sin θ = ١: ٦ × ٢٠ = ١٢٠ N·cm ويكون القضيب أفقيًا (θ = ٩٠°).
3
قرص دائري منتظم نصف قطره ٢٠ cm ووزنه ١٥ N معلق من مسمار أملس عند نقطة A على حافته، ويؤثر فيه في مستواه ازدواج ١٥٠ N·cm عكس عقارب الساعة. أوجد الزاوية بين AG والرأسي إلى أسفل.
صواب أم خطأ: يستطيع الجسم المعلق أن يستقر وتقع G تحت المسمار تمامًا فقط حين لا يؤثر فيه أي ازدواج. علّل.
صواب. وقوع G تحت A يعني θ = ٠ وsin θ = ٠ فيكون عزم ازدواج الوزن ورد الفعل صفرًا، فلا يمكن أن يؤثر ازدواج خارجي.
5
لماذا توجد زاويتان θ و١٨٠° − θ، وأيهما تراه عمليًا؟
sin θ = sin (١٨٠° − θ). في الأولى تقع G تحت المسمار ويعود الجسم إذا دُفع قليلًا (مستقر). وفي الثانية تقع G فوق المسمار ويبتعد الجسم عند أدنى دفع، لذلك لا نرى عمليًا إلا الأولى.
