الأسبوع 12 · Couples: cancelling a couple, a hanging body with a couple acting on it, equivalent couples and the exercises of Lesson 3-1 · 3 دروس
3
تكافؤ الازدواجات: تساوي العزمين مع اختلاف القوتين والذراعين، وتمارين على الازدواجات بالإحداثيات
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 1, Part 2
Goalاستبدل بازدواج ازدواجًا مكافئًا له بقوة وذراع مختلفين، وأوجد عزم ازدواج من إحداثيات نقطتي تأثير قوتيه.
New words
ازدواجان متكافئان · ازدواجان في المستوى نفسه لهما القياس الجبري للعزم نفسه (المقدار نفسه والاتجاه نفسه)التأثير نفسه · الجسم الذي يؤثر فيه ازدواج يسلك تمامًا كما لو أثر فيه ازدواج مكافئ
Explanation
الأثر الدوراني لازدواج لا يتوقف إلا على عزمه M = F × L بإشارته. لذلك يمكن استبدال أي ازدواج بآخر في المستوى نفسه له القياس الجبري نفسه للعزم: يمكن أن نضاعف القوة وننصّف الذراع، أو ندير الازدواج بأي زاوية في مستواه، أو ننقله إلى أي مكان في المستوى (أو إلى مستوٍ مواز)، ولا يتغير شيء بالنسبة للجسم. ويفيد هذا حين نريد القوى على خطوط أو في نقاط مناسبة. لاحظ أن الازدواجين المتكافئين متساويان في العزم لا في القوة. ولمقارنة ازدواجين نحسب F × L لكل منهما بإشارته. وللقوى المعطاة بالمركبات (Fx, Fy) عند النقطتين A وB يكون العزم (xA − xB)Fy − (yA − yB)Fx والذراع |M| / |F|.
Worked examples
لازدواج قوتان مقدار كل منهما ٢٤ N والبعد بين خطي عملهما ٠٫٥ m وهو عكس عقارب الساعة. (أ) أوجد عزمه. (ب) أوجد قوتي ازدواج مكافئ ذراعه ٠٫٢ m وقوتي آخر ذراعه ٠٫٣ m. الحل: (أ) M = +٢٤ × ٠٫٥ = +١٢ N·m. (ب) الازدواجان المتكافئان لهما العزم نفسه والاتجاه نفسه: F = ١٢ / ٠٫٢ = ٦٠ N للذراع ٠٫٢ m وF = ١٢ / ٠٫٣ = ٤٠ N للذراع ٠٫٣ m. كلما قصر الذراع لزمت قوة أكبر.
الازدواج F = (٦, −٨) N عند A(٥, ٢) و−F عند B(١, −١) (الإحداثيات بالمتر). أوجد عزمه (عكس عقارب الساعة موجب) وذراعه. ثم أوجد قوتي الازدواج المكافئ (بالاتجاه نفسه) الذي ذراعه ٢ m. الحل: المتجه من B إلى A هو (٤, ٣) فيكون M = ٤ × (−٨) − ٣ × ٦ = −٣٢ − ١٨ = −٥٠ N·m (في اتجاه عقارب الساعة). و|F| = √(٦² + ٨²) = ١٠ N فالذراع L = ٥٠ / ١٠ = ٥ m. وللذراع ٢ m: F = ٥٠ / ٢ = ٢٥ N في اتجاه عقارب الساعة.
Class activity
ارسم على ورق مربعات ازدواجًا قوتاه ٣ مربعات وذراعه ٤ مربعات، وتحته توأمه: قوتاه ٦ مربعات وذراعه مربعان. تحقق من أن لهما العزم نفسه (١٢ وحدة). أيهما أيسر تطبيقه على غطاء زجاجة عنيد، ولماذا؟
Practice
1
ازدواج قوتاه ١٥ N وذراعه ٠٫٢ m عكس عقارب الساعة. هل يكافئ ازدواجًا قوتاه ٥ N وذراعه ٠٫٦ m عكس عقارب الساعة؟ لماذا؟
المربع ABCD ضلعه ٢٠ cm. قوتان مقدار كل منهما ٤٠ N تؤثران من A إلى B ومن C إلى D (ازدواج عكس عقارب الساعة). استبدل به ازدواجًا مكافئًا من قوتين عند A وC عموديتين على AC. أوجد القوة (لأقرب منزلة عشرية).
الازدواج F = (٠, ٥) N عند A(٤, ٠) و−F عند B(١, ٠) (بالمتر). أوجد عزمه (عكس عقارب الساعة موجب).
المتجه من B إلى A هو (٣, ٠): M = ٣ × ٥ − ٠ × ٠ = +١٥ N·m (عكس عقارب الساعة).
4
عزم ازدواج في اتجاه عقارب الساعة −٣٦ N·cm. أعطِ ازدواجين مكافئين مختلفين (القوة والذراع، في اتجاه عقارب الساعة).
مثلًا ٩ N بذراع ٤ cm و٦ N بذراع ٦ cm (أي F وL بحيث F × L = ٣٦).
5
في مستوٍ ازدواجان: قوتا الأول ٨ N وذراعه ٠٫٩ m في اتجاه عقارب الساعة، وقوتا الثاني ١٢ N وذراعه ٠٫٦ m عكس عقارب الساعة. هل هما متكافئان؟ وماذا يعطيان معًا (عكس عقارب الساعة موجب)؟
العزمان −٧٫٢ و+٧٫٢ N·m: متساويان في المقدار ومتضادان في الاتجاه فهما غير متكافئين، وبالجمع يلغي أحدهما الآخر (اتزان).
