الضرب والقسمة والقوى بالصورة المثلثية والصورة الأسية

ليكن ⁦z١‎ = r١‎(cos θ١‎ + i sin θ١‎)⁩ و⁦z٢‎ = r٢‎(cos θ٢‎ + i sin θ٢‎)⁩ ولنضربهما مع تذكّر أن ⁦i² = −١‎⁩: ⁦z١‎z٢‎ = r١‎r٢‎[(cos θ١‎ cos θ٢‎ − sin θ١‎ sin θ٢‎) + i(sin θ١‎ cos θ٢‎ + cos θ١‎ sin θ٢‎)]⁩. تذكّر قانوني مجموع زاويتين من الصف الثاني الثانوي: ⁦cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B⁩ و⁦sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B⁩. والقوسان هما هذان القانونان تمامًا، فيكون ⁦z١‎z٢‎ = r١‎r٢‎[cos(θ١‎ + θ٢‎) + i sin(θ١‎ + θ٢‎)]⁩: يُضرب المقياسان وتُجمع السعتان. وبضرب ⁦z⁩ في ⁦(١‎/r)(cos(−θ) + i sin(−θ))⁩ نحصل على ⁦١‎⁩ فيكون ⁦١‎/z = (١‎/r)(cos(−θ) + i sin(−θ))⁩ وتنتج قاعدة القسمة: ⁦z١‎ ÷ z٢‎ = (r١‎/r٢‎)[cos(θ١‎ − θ٢‎) + i sin(θ١‎ − θ٢‎)]⁩: يُقسم المقياسان وتُطرح السعتان. وتحذير: مجموع سعتين أساسيتين أو الفرق بينهما قد يخرج من ⁦]−π, π]⁩، فنضيف ⁦٢‎π⁩ أو نطرحها لإعادة الجواب إلى المدى. وتساعد الصور: الضرب في ⁦z٢‎⁩ يمدّ المستوى بالعامل ⁦r٢‎⁩ ويديره بالزاوية ⁦θ٢‎⁩؛ فالضرب في ⁦i⁩ (⁦r = ١‎⁩ و⁦θ = π/٢‎⁩) ربع دورة بعكس عقارب الساعة.