☰ Year plan · Pure Mathematics (Arabic)

العمود على مستقيم والبعد عن مستقيم ومعادلة المستوى

Week 13 · A line meeting a given line at right angles, the distance from a point to a line, the equation of a plane in vector, standard and general form, a plane through three points or containing two lines · 3 lessons
1

مستقيم يمر بنقطة ويقطع مستقيمًا معلومًا على التعامد، والبعد بين نقطة ومستقيم

Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 4, Lessons 1–2
Goalأوجد قدم العمود المرسوم من نقطة على مستقيم، والمستقيم المار بالنقطة والقاطع للمستقيم المعلوم على التعامد، والبعد.
New words
قدم العمود · النقطة ⁦C⁩ من المستقيم الأقرب إلى ⁦A⁩؛ و⁦AC⁩ عمودي على اتجاه المستقيمالبعد بين نقطة ومستقيم · طول القطعة العمودية ⁦AC⁩ وهو أقصر بعدالمستقيم العمودي المار بالنقطة · المستقيم المار بـ ⁦A⁩ وبقدم العمود ⁦C⁩، ويكتب ⁦r = A + s·AC⁩
Explanation

لتكن ⁦A⁩ نقطة و⁦ℓ⁩ المستقيم ⁦r = B + t d⁩. من بين نقط ⁦ℓ⁩ توجد نقطة واحدة هي الأقرب إلى ⁦A⁩: قدم العمود ⁦C⁩. والقطعة ⁦AC⁩ عمودية على ⁦ℓ⁩ فيكون ⁦AC · d = ٠‎⁩. الطريقة الأولى. (١) اكتب نقطة عامة من ⁦ℓ⁩ هي ⁦C = B + t d⁩ و⁦t⁩ مجهول. (٢) كوّن ⁦AC = C − A⁩ وفي مركباته ⁦t⁩. (٣) ضع ⁦AC · d = ٠‎⁩ وهذه معادلة خطية في ⁦t⁩. (٤) حلها وعوّض لتحصل على ⁦C⁩ و⁦AC⁩. فيكون بعد ⁦A⁩ عن ⁦ℓ⁩ هو ⁦‖AC‖⁩، والمستقيم المار بـ ⁦A⁩ والقاطع لـ ⁦ℓ⁩ على التعامد هو ⁦r = A + s·AC⁩ (في الفراغ يوجد مستقيم واحد فقط يمر بـ ⁦A⁩ ويقطع ⁦ℓ⁩ على التعامد؛ أما المستقيمات الأخرى المارة بـ ⁦A⁩ فاتجاهها عمودي على ⁦ℓ⁩ لكنها لا تقطعه). الطريقة الثانية تستعمل الضرب الاتجاهي ولا تحتاج مجهولًا. خذ أي نقطة ⁦B⁩ من ⁦ℓ⁩. متوازي الأضلاع المقام على ⁦BA⁩ و⁦d⁩ مساحته ⁦‖BA × d‖⁩ وقاعدته ⁦‖d‖⁩ فارتفاعه، وهو بعد ⁦A⁩ عن ⁦ℓ⁩، يساوي ⁦‖BA × d‖/‖d‖⁩. وهذه الطريقة تعطي البعد ولا تعطي القدم. تحقق من أي إجابة باختبارين: ⁦AC · d⁩ يجب أن يساوي ⁦٠‎⁩ و⁦C⁩ يجب أن تقع على ⁦ℓ⁩.

ℓAC
Worked examples
أوجد القدم والبعد من ⁦A(٢‎, −٣‎, ٠‎)⁩ إلى المستقيم ⁦r = (١‎, ٠‎, ٢‎) + t(١‎, ٢‎, ٢‎)⁩. النقطة العامة ⁦C = (١‎ + t, ٢‎t, ٢‎ + ٢‎t)⁩ فيكون ⁦AC = (t − ١‎, ٢‎t + ٣‎, ٢‎t + ٢‎)⁩. ⁦AC · d = (t − ١‎) + ٢‎(٢‎t + ٣‎) + ٢‎(٢‎t + ٢‎) = ٩‎t + ٩‎ = ٠‎⁩ فيكون ⁦t = −١‎⁩. إذن ⁦C = (٠‎, −٢‎, ٠‎)⁩ و⁦AC = (−٢‎, ١‎, ٠‎)⁩. التحقق: ⁦AC · d = −٢‎ + ٢‎ + ٠‎ = ٠‎⁩. البعد ⁦√(٤‎ + ١‎) = √٥‎⁩ والمستقيم العمودي ⁦r = (٢‎, −٣‎, ٠‎) + s(−٢‎, ١‎, ٠‎)⁩.
البعد نفسه بالضرب الاتجاهي. خذ ⁦B = (١‎, ٠‎, ٢‎)⁩ فيكون ⁦BA = (١‎, −٣‎, −٢‎)⁩. ⁦BA × d = (−٣‎ × ٢‎ − (−٢‎) × ٢‎, −(١‎ × ٢‎ − (−٢‎) × ١‎), ١‎ × ٢‎ − (−٣‎) × ١‎) = (−٢‎, −٤‎, ٥‎)⁩ وطوله ⁦√٤٥‎⁩. وبالقسمة على ⁦‖d‖ = ٣‎⁩ نجد ⁦√٤٥‎/٣‎ = √٥‎⁩. الطريقتان متفقتان.
البعد من ⁦P(−٢‎, ١‎, ٤‎)⁩ إلى المستقيم ⁦r = (١‎, ١‎, ١‎) + t(٢‎, ٢‎, −١‎)⁩ بالضرب الاتجاهي. ⁦BP = (−٣‎, ٠‎, ٣‎)⁩. ⁦BP × d = (٠‎ × (−١‎) − ٣‎ × ٢‎, −((−٣‎)(−١‎) − ٣‎ × ٢‎), (−٣‎) × ٢‎ − ٠‎ × ٢‎) = (−٦‎, ٣‎, −٦‎)⁩ وطوله ⁦٩‎⁩. نقسم على ⁦‖d‖ = ٣‎⁩ فالبعد ⁦٣‎⁩.
إذا كانت ⁦A⁩ على المستقيم فالبعد ⁦٠‎⁩ وقدم العمود هي ⁦A⁩ نفسها، فيكون ⁦AC⁩ المتجه الصفري ولا يوجد ما نبحث عنه. فقبل أن تبدأ تحقق هل توجد قيمة لـ ⁦t⁩ تعطي ⁦A⁩.
Class activity

أقصر طريق. ضع قلمًا على منضدة ليكون المستقيم وقطعة نقود لتكون النقطة ⁦A⁩. استعمل مسطرة لتجد أقصر بعد من القطعة إلى القلم ولاحظ أين تلمس المسطرة القلم: هذه هي قدم العمود، والمسطرة عمودية على القلم.

Practice
1
أوجد قدم العمود المرسوم من ⁦A(٤‎, ١‎, ٤‎)⁩ على المستقيم ⁦r = (١‎, ١‎, ١‎) + t(١‎, ٢‎, ٢‎)⁩ والبعد.
2
أوجد المستقيم المار بالنقطة ⁦A(٥‎, −٢‎, −٢‎)⁩ ويقطع ⁦r = (٢‎, −١‎, ٣‎) + t(٢‎, ٢‎, −١‎)⁩ على التعامد.
3
استعمل الضرب الاتجاهي لإيجاد بعد النقطة ⁦A(٤‎, −٢‎, ٥‎)⁩ عن المستقيم المار بنقطة الأصل واتجاهه ⁦(١‎, −٢‎, ٢‎)⁩.
4
أوجد بعد النقطة ⁦(٥‎, ٧‎, ٢‎)⁩ عن المحور ⁦x⁩، وهو المستقيم المار بنقطة الأصل واتجاهه ⁦(١‎, ٠‎, ٠‎)⁩.
5
لماذا يكون الشرط ⁦AC · d = ٠‎⁩ هو الشرط الصحيح لقدم العمود؟