Week 10 · The scalar product: definition, properties, coordinates, the angle between two vectors, the component and the projection of one vector on another · 3 lessons
1
الضرب القياسي: التعريف والحالات الخاصة والخواص
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 3
Goalأعرّف الضرب القياسي A · B = ‖A‖‖B‖cos θ وأعرف قيمه الخاصة وأستعمل خواصه.
New words
الضرب القياسي · A · B = ‖A‖‖B‖cos θ حيث θ الزاوية بين المتجهين؛ والناتج عددمتجهان متعامدان · متجهان غير صفريين ناتج ضربهما القياسي ٠ أي θ = ٩٠°الزاوية بين متجهين · الزاوية θ (من ٠° إلى ١٨٠°) بين السهمين عندما يبدآن من النقطة نفسها
Explanation
هناك طريقتان لضرب المتجهات. إحداهما تعطي متجهًا (الأسبوع القادم). والأخرى تعطي عددًا وتسمى الضرب القياسي. ارسم A وB من النقطة نفسها، وإذا بدأ أحدهما من مكان آخر فانقله دون أن تدوره. وليكن θ الزاوية بينهما حيث ٠° ≤ θ ≤ ١٨٠°. عندئذ A · B = ‖A‖‖B‖ cos θ. وإشارته تتبع إشارة جيب التمام: موجبة للزاوية الحادة وسالبة للمنفرجة وصفر للقائمة. وللحالات الخاصة: اتجاه واحد (θ = ٠°) يعطي ‖A‖‖B‖؛ واتجاهان متعاكسان (θ = ١٨٠°) يعطيان −‖A‖‖B‖؛ ومتجهان متعامدان غير صفريين يعطيان ٠، والعكس صحيح: إذا كان A · B = ٠ وكان كل من المتجهين غير صفري فهما متعامدان. وبوجه خاص A · A = ‖A‖². أما الخواص فهي A · B = B · A وA · (B + C) = A · B + A · C و(kA) · B = A · (kB) = k(A · B). ولمتجهات وحدة المحاور: i · i = j · j = k · k = ١ وi · j = j · k = k · i = ٠.
Worked examples
ليكن ‖A‖ = ٥ و‖B‖ = ٦. عند θ = ٦٠°: A · B = ٣٠ cos ٦٠° = ١٥. وعند θ = ١٢٠°: ٣٠ cos ١٢٠° = −١٥. وعند θ = ٩٠°: ٠. وعند θ = ٠°: ٣٠.
مستطيل ABCD فيه AB = ٨ وBC = ٦ فالقطر AC = ١٠ وcos ∠BAC = ٨/١٠. AB · AC = ٨ × ١٠ × ٠٫٨ = ٦٤. AB · DC = ٦٤ (الاتجاه نفسه، ٨ × ٨). AB · BC = ٠ (متعامدان). AB · CA = ٨ × ١٠ × (−٠٫٨) = −٦٤ لأن CA يتجه عكس القطر AC فتكون الزاوية ١٨٠° − ∠BAC.
إذا كان ‖A‖ = ٣ و‖B‖ = ٤ وA · B = ٦ فإن cos θ = ٦/١٢ = ١/٢ وθ = ٦٠°. وبالخواص ‖A + B‖² = (A + B) · (A + B) = A · A + ٢A · B + B · B = ٩ + ١٢ + ١٦ = ٣٧ و‖A − B‖² = ٩ − ١٢ + ١٦ = ١٣.
Class activity
زوايا بالمنقلة. ارسم سهمين من نقطة بينهما زاوية ٤٠° وطولاهما ٥ سم و٤ سم. احسب A · B = ٢٠ cos ٤٠° ≈ ١٥٫٣. ثم غيّر الزاوية إلى ١٤٠° ولاحظ كيف تتغير الإشارة.
Practice
1
أوجد A · B إذا كان ‖A‖ = ٧ و‖B‖ = ٢ وθ = ١٣٥°.
AB · AC = ٣٦ cos ٦٠° = ١٨. وفي AB · BC لا يبدأ المتجهان من النقطة نفسها؛ والزاوية بينهما ١٢٠° فالناتج ٣٦ cos ١٢٠° = −١٨. أما AB · CB فإن CB = −BC فالناتج +١٨.
3
أثبت أن (A + B) · (A − B) = ‖A‖² − ‖B‖² واستعمله عندما ‖A‖ = ٥ و‖B‖ = ٣.
ننشر: A · A − A · B + B · A − B · B = ‖A‖² − ‖B‖² (الحدان الأوسطان يلغي أحدهما الآخر لأن A · B = B · A). وللعددين ٥ و٣ القيمة ٢٥ − ٩ = ١٦.
