الإحداثيات في الفراغ والمسافة والمنتصف وأولى خطوات المتجهات
Week 8 · The three-dimensional coordinate system, the distance and the midpoint in space, and vectors in space: position vector, norm and addition · 3 lessons
1
النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد: قاعدة اليد اليمنى والمستويات الإحداثية وتعيين النقط
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lessons 1–2
Goalأعيّن نقطة في الفراغ بثلاثة إحداثيات، وأسمي المستويات الإحداثية، وأقرأ المسافات إلى المستويات والمحاور.
New words
المحاور الإحداثية · ثلاثة محاور أعداد x, y, z متعامدة مثنى مثنى وتلتقي في نقطة الأصل Oقاعدة اليد اليمنى · اثنِ أصابع اليد اليمنى من الاتجاه الموجب لـ x نحو الموجب لـ y فيشير الإبهام إلى الاتجاه الموجب لـ zالمستوى الإحداثي · المستوى المار بمحورين: xy (z = ٠) وxz (y = ٠) وyz (x = ٠)
Explanation
تحتاج النقطة على خط مستقيم إلى عدد واحد، وفي المستوى إلى عددين، وفي الفراغ إلى ثلاثة أعداد. فنستعمل في الفراغ ثلاثة محاور x وy وz متعامدة مثنى مثنى وتلتقي في نقطة الأصل O (النظام الإحداثي المتعامد). واتجاهاتها تتبع قاعدة اليد اليمنى: اثنِ أصابع يدك اليمنى من الاتجاه الموجب لمحور x نحو الاتجاه الموجب لمحور y فيشير إبهامك إلى الاتجاه الموجب لمحور z. وفي رسومنا يتجه x إلى اليمين ويبتعد y عنا ويتجه z إلى أعلى. والمستويات الثلاثة المارة بكل محورين هي المستويات الإحداثية: معادلة المستوى xy هي z = ٠، ومعادلة المستوى xz هي y = ٠، ومعادلة المستوى yz هي x = ٠. لتعيين النقطة P(x, y, z) نذهب أولًا إلى النقطة (x, y) في المستوى xy ثم نصعد z وحدة إلى أعلى (أو |z| إلى أسفل إذا كان z سالبًا). وهذا يعني أن P هي الرأس البعيد لصندوق أحد رءوسه O وأطوال أحرفه |x| و|y| و|z| على المحاور. ومنه نقرأ المسافات بسرعة: تبعد P عن المستوى xy مسافة |z|، وعن المستوى xz مسافة |y|، وعن المستوى yz مسافة |x|، وعن محور x مسافة √(y² + z²) (قطر أحد أوجه الصندوق).
Worked examples
عيّن النقطة P(٤, ٢, ٣). نبدأ من O ونسير ٤ وحدات على محور x ثم وحدتين في اتجاه محور y فنصل إلى (٤, ٢, ٠) في المستوى xy، ثم نصعد ٣ وحدات. وفي صندوق الشكل نقطة الأصل هي الرأس الأمامي السفلي الأيسر، وP هي الرأس الخلفي العلوي الأيمن.
النقطة
موضعها
A(5, 2, 0)
في المستوى xy (z = 0)
B(0, −3, 4)
في المستوى yz (x = 0)
C(0, 0, −6)
على محور z (x = 0 و y = 0)
D(−2, 4, 1)
ليست في أي مستوى إحداثي
أين تقع هذه النقاط؟
أوجد بعد Q(٤, −٣, ٥) عن المستويات الإحداثية الثلاثة وعن محور x ومحور z. عن المستوى xy: |٥| = ٥. عن المستوى xz: |−٣| = ٣. عن المستوى yz: |٤| = ٤. عن محور x: √(٩ + ٢٥) = √٣٤. عن محور z: √(١٦ + ٩) = ٥.
Class activity
استعن بركن. انظر إلى الركن الذي يلتقي فيه جداران وأرضية غرفتك. قل أي جدار هو المستوى xz وأيهما المستوى yz وأي حرف هو محور z. وتحقق بقاعدة اليد اليمنى أن x, y, z مرتبة ترتيبًا صحيحًا.
Practice
1
اكتب معادلتي المستويين yz وxz.
معادلة المستوى yz هي x = ٠ ومعادلة المستوى xz هي y = ٠.
2
أوجد بعد النقطة (−٢, ٦, −٧) عن المستويات الإحداثية الثلاثة.
عن المستوى xy: ٧، وعن xz: ٦، وعن yz: ٢ (المسافات موجبة).
