الضرب والقسمة والقوى بالصورة المثلثية والصورة الأسية

نكرر قاعدة الضرب على العدد نفسه: ⁦z² = r²(cos ٢‎θ + i sin ٢‎θ)⁩ و⁦z³ = z² · z = r³(cos ٣‎θ + i sin ٣‎θ)⁩، وعمومًا ⁦zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)⁩ لكل عدد صحيح موجب ⁦n⁩. ونعيد ⁦nθ⁩ إلى ⁦]−π, π]⁩ بإضافة مضاعفات ⁦٢‎π⁩ أو طرحها إن أردنا السعة الأساسية. (وفي الأسبوع القادم نسمّي هذه النتيجة باسم ديموافر.) والآن طريقة جديدة لكتابة ⁦z⁩. لكل ⁦x⁩ حقيقي ثلاث متسلسلات مشهورة: ⁦eˣ = ١‎ + x + x²/٢‎! + x³/٣‎! + …⁩ و⁦cos x = ١‎ − x²/٢‎! + x⁴/٤‎! − …⁩ و⁦sin x = x − x³/٣‎! + x⁵/٥‎! − …⁩ (وهذه الثلاث هي كل ما نحتاجه). نضع ⁦ix⁩ مكان ⁦x⁩ في الأولى. وبما أن ⁦i² = −١‎⁩ و⁦i³ = −i⁩ و⁦i⁴ = ١‎⁩ و⁦i⁵ = i⁩ فإن الحدود الخالية من ⁦i⁩ مجموعها ⁦١‎ − x²/٢‎! + x⁴/٤‎! − … = cos x⁩ والحدود التي فيها ⁦i⁩ مجموعها ⁦i(x − x³/٣‎! + …) = i sin x⁩. وهذه صيغة أويلر: ⁦e^(ix) = cos x + i sin x⁩ مع ⁦x⁩ بالراديان. وبهذا يمكن كتابة ⁦z = r(cos θ + i sin θ)⁩ على الصورة ⁦z = re^(iθ)⁩. والعدد ⁦e^(iθ)⁩ مقياسه ⁦١‎⁩ فهو على دائرة الوحدة. وقيم خاصة: ⁦e^(iπ/٢‎) = i⁩ و⁦e^(iπ) = −١‎⁩ (أي ⁦e^(iπ) + ١‎ = ٠‎⁩) و⁦e^(٢‎πi) = ١‎⁩. كذلك ⁦e^(a + iθ) = eᵃ · e^(iθ)⁩ مقياسه ⁦eᵃ⁩ وسعته ⁦θ⁩.