الحد الأوسط ومجموع المعاملات والحد المشتمل على قوة معينة من x
Week 2 · The middle term or terms of an expansion, mixed problems of Lesson 1, and finding the term that contains a given power of x · 3 lessons
1
الحد الأوسط أو الحدان الأوسطان في المفكوك
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lessons 1–2
Goalأجد الحد الأوسط أو الحدّين الأوسطين في المفكوك.
New words
الحد الأوسط · الحد الذي يسبقه من الحدود عدد ما يليهرتبة الحد · موضعه في القائمة T١, T٢, T٣, … (الرتبة هي r + ١)
Explanation
مفكوك (x + a)ⁿ فيه n + ١ حدًّا. إذا كان n زوجيًّا كان n + ١ فرديًّا، فيوجد حد أوسط واحد بالضبط رتبته n/٢ + ١ من البداية. وإذا كان n فرديًّا كان n + ١ زوجيًّا، فيوجد حدّان أوسطان رتبتاهما (n + ١)/٢ و(n + ٣)/٢. فعندما n = ٨ يوجد ٩ حدود والأوسط هو T٥ (r = ٤)، وعندما n = ٧ يوجد ٨ حدود والأوسطان T٤ وT٥ (r = ٣ وr = ٤). وبعد معرفة الرتبة نستعمل الحد العام من الأسبوع الأول. وعند جمع مفكوكين أو طرحهما نعدّ أولًا الحدود الباقية: (x + a)ⁿ + (x − a)ⁿ يُبقي T١, T٣, T٥, … فقط، و(x + a)ⁿ − (x − a)ⁿ يُبقي T٢, T٤, … فقط، فيصير عدد الحدود نحو النصف ويكون الحد الأوسط هو الأوسط في هذه القائمة الأقصر. والحدود الوسطى هي التي تكون فيها الأعداد nCr أكبر ما يمكن، لأن صفوف باسكال ترتفع حتى المنتصف ثم تنخفض.
n
عدد الحدود
الحد أو الحدّان الأوسطان
4
5
T3
5
6
T3 و T4
6
7
T4
7
8
T4 و T5
8
9
T5
9
10
T5 و T6
Worked examples
أوجد الحد الأوسط في (٢x + ١/x)⁶. هنا n = ٦ فيوجد حد أوسط واحد هو T٤ (r = ٣): ٦C٣ (٢x)³ (١/x)³ = ٢٠ × ٨x³ × x⁻³ = ١٦٠. لا يحتوي على x.
أوجد الحد الأوسط في (x + ١)⁶ − (x − ١)⁶. الفرق يساوي ٢(T٢ + T٤ + T٦)، أي ثلاثة حدود، فالأوسط هو ٢T٤ = ٢ × ٦C٣ x³ = ٤٠x³. (التحقق: الفرق كله ١٢x⁵ + ٤٠x³ + ١٢x.)
Class activity
الشطب من الطرفين. اكتب T١ إلى T٩ عندما n = ٨ واشطب الأول والأخير ثم الزوج التالي وهكذا حتى يبقى حد واحد. افعل الشيء نفسه مع T١ إلى T٨ عندما n = ٧ وانظر كيف يبقى حدّان.
Practice
1
أوجد الحد الأوسط في (x + ١/x)¹⁰.
n = ١٠ فهو T٦: ١٠C٥ x⁵ x⁻⁵ = ٢٥٢.
2
اذكر رتبة الحد أو الحدّين الأوسطين عندما n = ١١ وعندما n = ١٤.
n = ١١: الرتبتان ٦ و٧. n = ١٤: حد أوسط واحد رتبته ١٤/٢ + ١ = ٨.
