Week 3 · The term free of x, ratios of consecutive terms and of their coefficients, three consecutive coefficients and the greatest term · 3 lessons
1
الحد الخالي من x، وإثبات عدم وجود حد يحتوي على قوة معينة
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lessons 2–3
Goalأجد الحد الخالي من x، وأبيّن أن قوة معينة من x لا تظهر.
New words
الحد الخالي من x · الحد الذي قوة x فيه ٠، أي عدد فقطمعادلة القوة · المعادلة التي نساوي فيها قوة x في T(r+١) بـ k
Explanation
الحد الخالي من x هو الحد الذي قوة x فيه ٠. نجده كما في الأسبوع الماضي مع k = ٠: نبسّط قوة x في T(r+١) ونساويها بالصفر ونحلّ لإيجاد r. في (x² + ١/x)⁶ القوة ٢(٦ − r) − r = ١٢ − ٣r ويبيّن الجدول أنها ٠ عند r = ٤ فالحد الخالي هو T٥ = ٦C٤ = ١٥. وتجيب الفكرة نفسها عن أسئلة تتعلق بـ n. ففي (x³ + ١/x)ⁿ القوة ٣(n − r) − r = ٣n − ٤r فيلزم أن يكون r = ٣n/٤ عددًا صحيحًا، وهذا يحدث تمامًا عندما يكون n من مضاعفات ٤. فإن لم يكن كذلك فلا يوجد في المفكوك حد خالٍ من x أصلًا. ولإثبات أن قوة ما لا تظهر نحلّ معادلة القوة ونبيّن أن r ليس عددًا صحيحًا (أو سالب، أو أكبر من n). وانتبه للأقواس: في ١/(٢x) يُرفع العدد ٢ أيضًا إلى القوة r.
قوى x في مفكوك (x² + 1/x)⁶
r
الحد
قوة x
0
T1
12
1
T2
9
2
T3
6
3
T4
3
4
T5
0
5
T6
−3
6
T7
−6
Worked examples
أوجد الحد الخالي من x في (٢x² + ١/x)⁹. القوة ٢(٩ − r) − r = ١٨ − ٣r. نضع ١٨ − ٣r = ٠ فيكون r = ٦. الحد T٧ = ٩C٦ · ٢³ = ٨٤ × ٨ = ٦٧٢.
لأي قيم n يوجد حد خالٍ من x في (x³ + ١/x)ⁿ؟ القوة ٣n − ٤r = ٠ فيكون r = ٣n/٤ ويجب أن يكون n من مضاعفات ٤. عندما n = ٨: r = ٦ والحد الخالي T٧ = ٨C٦ = ٢٨. وعندما n = ١٠: r = ٧٫٥ فلا يوجد حد خالٍ.
الحد الخالي من x في (ax + ١/x)⁸ يساوي معامل x². أوجد a. T(r+١) = ٨Cr a⁸⁻ʳ x⁸⁻²ʳ. الحد الخالي: r = ٤ ويعطي ٧٠a⁴. ومن أجل x²: r = ٣ ويعطي ٥٦a⁵. إذن ٧٠a⁴ = ٥٦a⁵ وبما أن a ≠ ٠ فإن a = ٧٠/٥٦ = ٥/٤.
Class activity
درج القوى. في (x³ + ١/x)⁶ اكتب القوى ٣(٦ − r) − r لقيم r من ٠ إلى ٦. هل الصفر في القائمة؟ ثم افعل ذلك مع (x³ + ١/x)⁷ وفسّر ما تراه.
