نظرية ذات الحدين: المفكوك والحد العام ومجموع مفكوكين
Week 1 · The binomial theorem: Pascal’s triangle and combinations, the expansion of (x + a)^n, the general term, the term counted from the end, sums and differences of two expansions · 3 lessons
1
مثلث باسكال والتوافيق ومفكوك ذات الحدين بأس صحيح موجب
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1
Goalأفكّ قوة ذات الحدين بمثلث باسكال وبالتوافيق.
New words
ذات الحدين · مقدار من حدين مثل x + aالتوافيق nCr · عدد طرق اختيار r عنصرًا من n عنصرًاالمفكوك · القوة بعد فكّها إلى مجموع حدود
Explanation
ذات الحدين مقدار من حدّين مثل x + a. إذا ضربناه في نفسه ظهر نمط: (x + a)² = x² + ٢xa + a² و(x + a)³ = x³ + ٣x²a + ٣xa² + a³. في مفكوك (x + a)ⁿ يوجد n + ١ حدًّا، وتتناقص قوى x من n إلى ٠ بينما تتزايد قوى a من ٠ إلى n، ومجموع القوتين في كل حد يساوي n. أما المعاملات فهي صفوف مثلث باسكال: كل عدد هو مجموع العددين اللذين فوقه. وبدل أن نبني المثلث صفًّا صفًّا نستطيع أن نسمّي عناصره: العنصر في الصف n والموضع r (نعدّ المواضع من ٠) هو عدد طرق اختيار r عنصرًا من n عنصرًا، ويُكتب nCr ويُقرأ التوافيق، وقيمته n!/(r!(n − r)!) حيث n! = n × (n − ١) × … × ١ و٠! = ١. وللحساب السريع نختصر: ٨C٣ = (٨ × ٧ × ٦)/(٣ × ٢ × ١) = ٥٦. وحقيقتان مفيدتان: nC٠ = nCn = ١ وnCr = nC(n − r). ومجموع أعداد الصف n يساوي ٢ⁿ، وهو عدد المجموعات الجزئية لمجموعة من n عنصرًا (كل عنصر إمّا داخل المجموعة أو خارجها). وتنصّ نظرية ذات الحدين على أن (x + a)ⁿ = nC٠ xⁿ + nC١ xⁿ⁻¹a + nC٢ xⁿ⁻²a² + … + nCn aⁿ. وفي (x − a)ⁿ نضع −a مكان a فتتبادل الإشارات: + − + − …
التوافيق ومجموع الصف. لاختيار ٣ لاعبين من ١٠ لتمرين كرة القدم: ١٠C٣ = (١٠ × ٩ × ٨)/(٣ × ٢ × ١) = ١٢٠ طريقة. وبالتماثل nCr = nC(n − r) يكون ١٠C٧ أيضًا ١٢٠. ولو اختار قائد الفريق أي عدد من ٤ مساعدين، من لا أحد إلى الأربعة جميعًا، فالعدد ٤C٠ + ٤C١ + ٤C٢ + ٤C٣ + ٤C٤ = ١ + ٤ + ٦ + ٤ + ١ = ١٦ = ٢⁴ طريقة.
Class activity
ابنِ الصف ٦. اكتب الصف ٥ (١, ٥, ١٠, ١٠, ٥, ١) ثم اجمع كل عددين متجاورين لتحصل على ١, ٦, ١٥, ٢٠, ١٥, ٦, ١. اجمع الصف (يجب أن يكون ٦٤ = ٢⁶) وتحقّق من ٦C٢ = ١٥ بالقانون.
