مستوى أرجاند · المستوى الذي يمثَّل فيه z = x + yi بالنقطة (x, y)المرافق · x − yi، صورة x + yi في مرآة المحور الحقيقيالإحداثيات القطبية · (r, θ): البعد عن نقطة الأصل والزاوية مع الاتجاه الموجب لمحور السينات
Explanation
للعدد المركب z = x + yi (حيث i² = −١ كما في الصف الأول الثانوي) جزء حقيقي x وجزء تخيلي y. وبما أنه زوج من عددين حقيقيين فيمكن رسمه نقطة (x, y). والمستوى المستعمل لذلك هو مستوى أرجاند: المحور الأفقي للأجزاء الحقيقية والمحور الرأسي للأجزاء التخيلية. ومرافق العدد x − yi هو صورة z في مرآة المحور الأفقي. والعدد −z = −x − yi هو النقطة المقابلة لـ z من خلال نقطة الأصل. وإضافة عدد حقيقي تزيح النقطة جانبًا: إذا كان z = ٤ + ٣i فإن ١ + z = ٥ + ٣i. وكل الأعداد التي جزؤها الحقيقي ٣ تقع على المستقيم الرأسي x = ٣، وكل الأعداد التي جزؤها التخيلي −١ تقع على المستقيم الأفقي y = −١. ويمكن وصف النقطة أيضًا بالإحداثيات القطبية (r, θ): r بعدها عن نقطة الأصل وθ الزاوية من الاتجاه الموجب لمحور السينات بعكس عقارب الساعة. ونقيس θ بالراديان: π راديان تساوي ١٨٠° فتكون π/٦ = ٣٠° وπ/٤ = ٤٥° وπ/٣ = ٦٠° وπ/٢ = ٩٠°. والعلاقات x = r cos θ وy = r sin θ وr = √(x² + y²) وtan θ = y/x.
Worked examples
مثّل z = ٤ + ٣i ومرافقه و−z ومرافق −z. النقاط: z = (٤, ٣) ومرافقه (٤, −٣) و−z = (−٤, −٣) ومرافق −z أي −٤ + ٣i = (−٤, ٣). النقاط الأربع رءوس مستطيل مركزه نقطة الأصل، وكل زوجين منها صورتان في مرآة أحد المحورين.
مثّل ٣ + ٢i و٣ − i و٣. كلها جزؤها الحقيقي ٣ فتقع على المستقيم الرأسي x = ٣. وأي عدد ٣ + yi لأي y حقيقي يقع على هذا المستقيم.
الانتقال بين الصورتين. للنقطة (−٢, ٢): r = √(٤ + ٤) = ٢√٢ (نحو ٢٫٨٣). وهي على المستقيم y = −x في الربع الثاني وتبعد ٤٥° عن الاتجاه السالب لمحور السينات، فيكون θ = π − π/٤ = ٣π/٤. وللعودة: (r, θ) = (٦, π/٦) تعطي x = ٦ cos ٣٠° = ٣√٣ وy = ٦ sin ٣٠° = ٣ أي النقطة (٣√٣, ٣).
Class activity
لعبة المرايا. مثّل z = ٢ + ٣i على ورق مربعات. من دون حساب مثّل مرافقه و−z ومرافق −z، وقل أي الأزواج صورتان في مرآة المحور الرأسي.
Practice
1
اكتب النقطة الممثلة لـ z = −٣ + ٥i ولمرافقه ولـ −z.
