الضرب والقسمة والقوى بالصورة المثلثية والصورة الأسية
Answers are for parents and teachers.
1
(أ) اقسم ٦(cos ٧π/١٠ + i sin ٧π/١٠) على ٣(cos π/٥ + i sin π/٥). (ب) اضرب ٢(cos ٥π/٦ + i sin ٥π/٦) في ٣(cos ٥π/٦ + i sin ٥π/٦) وأعط الجواب بالسعة الأساسية وبالصورة x + yi.
(أ) ٢(cos(٧π/١٠ − ٢π/١٠) + i sin(٧π/١٠ − ٢π/١٠)) = ٢(cos π/٢ + i sin π/٢) = ٢i. (ب) المقياس ٦ والسعة ٥π/٣ أي −π/٣. إذن ٦(cos(−π/٣) + i sin(−π/٣)) = ٣ − ٣√٣ i.
2
أوجد (√٣ − i)⁵ بالصورة x + yi.
√٣ − i = ٢(cos(−π/٦) + i sin(−π/٦)). القوة الخامسة مقياسها ٣٢ وسعتها −٥π/٦: ٣٢(−√٣/٢ − i/٢) = −١٦√٣ − ١٦i.
3
اكتب بالصورة الأسية (أ) −٣ + ٣√٣ i (ب) ٤ − ٤i (ج) −٧i.
(أ) r = ٦ والزاوية المرجعية π/٣ في الربع الثاني: ٦e^(٢πi/٣). (ب) r = ٤√٢ والسعة −π/٤: ٤√٢ e^(−iπ/٤). (ج) ٧e^(−iπ/٢).
4
ليكن Z١ = ١ + √٣ i وZ٢ = √٢ − √٢ i. أوجد Z١Z٢ وZ١ ÷ Z٢ بالصورة الأسية.
Z١ = ٢e^(iπ/٣) وZ٢ = ٢e^(−iπ/٤). Z١Z٢ = ٤e^(i(π/٣ − π/٤)) = ٤e^(iπ/١٢). Z١ ÷ Z٢ = e^(i(π/٣ + π/٤)) = e^(٧πi/١٢).
5
أوجد ((١ + √٣ i)/(١ − √٣ i))³.
١ + √٣ i = ٢e^(iπ/٣) و١ − √٣ i = ٢e^(−iπ/٣) فحاصل القسمة e^(٢πi/٣). وبرفعه إلى القوة ٣ نجد e^(٢πi) = ١.