المستقيم في الفراغ: متجه الاتجاه وصور المعادلة الثلاث والزاوية بين مستقيمين

في المستوى يتعين المستقيم بميله ونقطة منه. أما في الفراغ فلا يكفي عدد واحد لوصف الميل، ولذلك نستعمل متجهًا كاملًا. يتعين المستقيم في الفراغ بنقطة ⁦A⁩ منه واتجاه واحد. ومتجه الاتجاه ⁦d⁩ هو أي متجه غير صفري يوازي المستقيم: إذا كانت ⁦A⁩ و⁦B⁩ على المستقيم فإن ⁦d = AB⁩. وكل مضاعف غير صفري للمتجه ⁦d⁩ هو أيضًا متجه اتجاه، ولذلك فإن مركبات ⁦d⁩ أي ⁦a, b, c⁩ وتسمى نسب الاتجاه لا يهم منها إلا النسب بينها. وجيوب تمام الاتجاه التي درسناها في الأسبوع التاسع هي مركبات متجه الوحدة ⁦d/‖d‖⁩؛ لذلك ⁦ℓ² + m² + n² = ١‎⁩ ونسب الاتجاه متناسبة مع ⁦ℓ, m, n⁩. وللانتقال من النسب إلى جيوب التمام نقسم على ⁦‖d‖⁩. ومتجهات اتجاه المحاور هي ⁦(١‎, ٠‎, ٠‎)⁩ و⁦(٠‎, ١‎, ٠‎)⁩ و⁦(٠‎, ٠‎, ١‎)⁩. والصفر في ⁦d⁩ يعطي معلومة: إذا كانت المركبة ⁦y⁩ تساوي ⁦٠‎⁩ فإن الإحداثي ⁦y⁩ لا يتغير على المستقيم، فيكون المستقيم موازيًا للمستوى ⁦xz⁩. والآن المعادلة المتجهة. خذ أي نقطة من المستقيم متجه موضعها ⁦r = (x, y, z)⁩. إذا بدأنا من ⁦A⁩ وتحركنا على المستقيم بمضاعف لـ ⁦d⁩ حصلنا على ⁦r = A + t d⁩ حيث ⁦t⁩ أي عدد حقيقي ويسمى الوسيط (البارامتر). وكل قيمة لـ ⁦t⁩ تعطي نقطة واحدة من المستقيم: ⁦t = ٠‎⁩ تعطي ⁦A⁩ و⁦t = ١‎⁩ تعطي ⁦A + d⁩ و⁦t⁩ السالب يعطي نقطًا في الجهة الأخرى من ⁦A⁩. وللمستقيم الواحد معادلات متجهة كثيرة لأننا نستطيع اختيار نقطة أخرى أو مضاعف آخر لـ ⁦d⁩.