Week 11 · The vector product: definition, coordinates, parallel vectors, areas, the scalar triple product and volumes · 3 lessons
1
الضرب الاتجاهي: التعريف وقاعدة اليد اليمنى وحاصل ضرب متجهات الوحدة
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 3
Goalأعرّف الضرب الاتجاهي A × B وأوجد طوله واتجاهه بقاعدة اليد اليمنى، وأستعمل حاصل ضرب متجهات الوحدة i, j, k.
New words
الضرب الاتجاهي · A × B = (‖A‖‖B‖ sin θ) c: متجه عمودي على كل من A وBقاعدة اليد اليمنى · تدور أصابع اليد اليمنى من A إلى B بالزاوية θ ويشير الإبهام إلى اتجاه A × Bالمتجه الصفري · المتجه الذي طوله ٠؛ ويكون A × B متجهًا صفريًا عندما يتوازى A وB
Explanation
في الأسبوع الماضي أعطانا الضرب القياسي لمتجهين عددًا. أما الطريقة الثانية لضرب متجهين فتعطي متجهًا، وتسمى الضرب الاتجاهي (ويقال أيضًا حاصل الضرب الاتجاهي أو الضرب الخارجي). ارسم A وB من النقطة نفسها وليكن θ الزاوية بينهما (٠° ≤ θ ≤ ١٨٠°). عندئذ يكون A × B المتجه الذي له الخاصيتان الآتيتان. طوله ‖A × B‖ = ‖A‖‖B‖ sin θ. واتجاهه عمودي على المستوى الذي يحوي A وB، ويُعيَّن منحاه بقاعدة اليد اليمنى: أدر أصابع يدك اليمنى من A نحو B بالزاوية θ فيشير الإبهام إلى اتجاه A × B. وبالرموز A × B = (‖A‖‖B‖ sin θ) c حيث c متجه الوحدة الذي يشير إليه الإبهام. وتنتج ثلاث حقائق. الأولى: الترتيب مهم، فالدوران من B إلى A يعكس اتجاه الإبهام، ولذلك B × A = −(A × B). الثانية: إذا كان A وB متوازيين فإن sin θ = ٠ (θ = ٠° أو ١٨٠°) فيكون A × B المتجه الصفري، وبوجه خاص A × A متجه صفري. الثالثة: إذا كان A وB متعامدين فإن sin θ = ١ و‖A × B‖ = ‖A‖‖B‖ وهي أكبر قيمة ممكنة. ولمتجهات الوحدة على المحاور تعطي قاعدة اليد اليمنى i × j = k وj × k = i وk × i = j، وعكس الترتيب يعطي السالب: j × i = −k وk × j = −i وi × k = −j. قارن بين الضربين: A · B يستعمل cos θ وناتجه عدد، وA × B يستعمل sin θ وناتجه متجه.
الصف × العمود: i × j = k ولكن j × i = −k؛ و٠ هو المتجه الصفري
×
i
j
k
i
٠
k
−j
j
−k
٠
i
k
j
−i
٠
Worked examples
ليكن ‖A‖ = ٨ و‖B‖ = ٥. عند θ = ٣٠° يكون الطول ٤٠ sin ٣٠° = ٢٠. وعند θ = ٩٠° يكون ٤٠. وعند θ = ١٥٠° يكون ٤٠ sin ١٥٠° = ٢٠، أي مثل حالة ٣٠° لأن sin ١٥٠° = sin ٣٠°. وعند θ = ٠° يكون ٠.
إذا كان ‖A‖ = ٦ و‖B‖ = ٤ و‖A × B‖ = ١٢ فإن ٢٤ sin θ = ١٢ أي sin θ = ١/٢ وθ = ٣٠° أو θ = ١٥٠°. كلتا الزاويتين ممكنة لأن الجيب وحده لا يميز بينهما. فإذا علمنا أن A · B موجب فالزاوية حادة وθ = ٣٠°.
الضربان معًا: إذا كان ‖A‖ = ٣ و‖B‖ = ٥ وA · B = ٩ فإن cos θ = ٩/١٥ = ٣/٥ ومنه sin θ = ٤/٥ (مثلث ٣-٤-٥) و‖A × B‖ = ١٥ × ٤/٥ = ١٢.
Class activity
اختبار اليد اليمنى. ضع يدك اليمنى وأصابعك تشير إلى اتجاه المحور x في الغرفة (نحو الباب مثلًا) ثم أدرها نحو المحور y (نحو النافذة مثلًا). إلى أين يشير الإبهام؟ تأكد أنه يشير إلى المحور z، أي i × j = k. ثم أدر الأصابع من المحور y إلى المحور x ولاحظ انقلاب الإبهام: j × i = −k.
Practice
1
أوجد ‖A × B‖ إذا كان ‖A‖ = ٧ و‖B‖ = ٤ وθ = ٣٠°.
