Week 4 · Complex numbers on the Argand plane, conjugates, modulus and amplitude, the principal amplitude and the trigonometric form · 3 lessons
3
كتابة العدد المركب على الصورة المثلثية
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 1
Goalأكتب العدد المركب على الصورة المثلثية r(cos θ + i sin θ).
New words
الصورة المثلثية · z = r(cos θ + i sin θ) حيث r = |z| وθ السعة الأساسيةالصورة القياسية · r > ٠ ونفس الزاوية في الجيب وجيب التمام وإشارة جمع بينهما
Explanation
بما أن x = r cos θ وy = r sin θ فإن z = x + yi = r cos θ + i r sin θ = r(cos θ + i sin θ). وهذه هي الصورة المثلثية (القطبية). ولكتابة عدد بهذه الصورة: (١) نجد r = |z|؛ (٢) نجد الزاوية المرجعية والربع؛ (٣) نكتب θ السعة الأساسية؛ (٤) نجمع r وcos θ وsin θ ونتحقق من أحد الجزأين بالضرب. وللصورة القياسية نريد r موجبًا ونفس الزاوية في الجيب وجيب التمام وإشارة جمع بينهما. أما العبارات التي تشبهها فقط فيجب إعادة كتابتها: r(cos θ − i sin θ) = r(cos(−θ) + i sin(−θ))؛ وإشارة السالب في المقدمة −r(cos θ + i sin θ) تضيف π إلى الزاوية أو تطرحها منها؛ وعبارة sin θ + i cos θ تبدّل الجيب وجيب التمام ومعناها الانتقال إلى الزاوية ٩٠° − θ (لأن sin θ = cos(٩٠° − θ) وcos θ = sin(٩٠° − θ)). ويكرر الجدول القيم الدقيقة اللازمة. والأعداد على المحورين سهلة: ٦ = ٦(cos ٠ + i sin ٠) و−٦ = ٦(cos π + i sin π) و٤i = ٤(cos π/٢ + i sin π/٢) و−٢i = ٢(cos(−π/٢) + i sin(−π/٢)).
θ (بالراديان)
θ (بالدرجات)
cos θ
sin θ
0
0°
1
0
π/6
30°
√3/2
1/2
π/4
45°
√2/2
√2/2
π/3
60°
1/2
√3/2
π/2
90°
0
1
π
180°
−1
0
Worked examples
اكتب ٣ − ٣i بالصورة المثلثية. r = √(٩ + ٩) = ٣√٢. الزاوية المرجعية π/٤ والنقطة في الربع الرابع فـ θ = −π/٤. إذن ٣ − ٣i = ٣√٢ (cos(−π/٤) + i sin(−π/٤)). التحقق: ٣√٢ cos(−π/٤) = ٣√٢ × √٢/٢ = ٣ وجزء الجيب يعطي −٣.
اكتب −٥√٣ + ٥i بالصورة المثلثية. r = √(٧٥ + ٢٥) = ١٠. الزاوية المرجعية tan⁻¹(٥/(٥√٣)) = π/٦ والربع الثاني يعطي θ = π − π/٦ = ٥π/٦. فالصورة ١٠(cos ٥π/٦ + i sin ٥π/٦). التحقق: ١٠ × (−√٣/٢) = −٥√٣ و١٠ × ١/٢ = ٥.
حوّل هذه إلى الصورة القياسية. (أ) ٢(sin ٢٠° + i cos ٢٠°) = ٢(cos ٧٠° + i sin ٧٠°). (ب) −٣(cos ٤٠° + i sin ٤٠°): الإشارة السالبة تطرح ١٨٠° من الزاوية فنحصل على ٣(cos(−١٤٠°) + i sin(−١٤٠°)). (ج) ٥(cos ٣٠° − i sin ٣٠°) = ٥(cos(−٣٠°) + i sin(−٣٠°)).
العودة إلى x + yi: ٦(cos ٢π/٣ + i sin ٢π/٣) = ٦(−١/٢ + (√٣/٢) i) = −٣ + ٣√٣ i.
Class activity
اكتشف الأخطاء. قل في كل عبارة مما يلي ما الذي يمنعها من أن تكون بالصورة القياسية: ٤(cos ٢٠° − i sin ٢٠°) و−٢(cos ٥٠° + i sin ٥٠°) و٣(cos ١٠° + i sin ٧٠°) و٧(sin ٤٠° + i cos ٤٠°). ثم أصلح كلًّا منها.
Practice
1
اكتب ٢ + ٢√٣ i بالصورة المثلثية.
r = √(٤ + ١٢) = ٤ وα = tan⁻¹(√٣) = π/٣ في الربع الأول: ٤(cos π/٣ + i sin π/٣).
