Week 4 · Complex numbers on the Argand plane, conjugates, modulus and amplitude, the principal amplitude and the trigonometric form · 3 lessons
2
مقياس العدد المركب وسعته، والسعة الأساسية بحسب الربع
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 1
Goalأجد مقياس العدد المركب وسعته الأساسية باستعمال الربع.
New words
المقياس |z| · r = √(x² + y²) البعد عن نقطة الأصلالسعة · زاوية θ تحقق x = r cos θ وy = r sin θ؛ وإضافة ٢π تعطي سعة أخرىالسعة الأساسية · السعة التي تقع في ]−π, π]
Explanation
مقياس العدد |z| = r = √(x² + y²) هو بعد النقطة عن نقطة الأصل فلا يكون سالبًا أبدًا. وسعة z هي أي زاوية θ تحقق x = r cos θ وy = r sin θ. وإضافة دورة كاملة ٢π تعطي سعة أخرى للعدد نفسه، ولنحصل على جواب واحد نستعمل السعة الأساسية وهي التي تقع في ]−π, π] (بالدرجات ]−١٨٠°, ١٨٠°]). ولإيجادها نحسب أولًا الزاوية الحادة المرجعية α = tan⁻¹(|y|/|x|) من الأطوال وحدها، ثم ننظر إلى ربع النقطة: الربع الأول يعطي θ = α والثاني π − α والثالث α − π والرابع −α (انظر الجدول). ويكتب الكتاب tan⁻¹(y/x) والإشارات داخلها ثم يضيف π أو يطرحها، والطريقتان تعطيان النتيجة نفسها. وعلى المحورين لا توجد زاوية نحسبها: العدد الحقيقي الموجب سعته ٠ والحقيقي السالب π والتخيلي الموجب π/٢ والتخيلي السالب −π/٢. وسنستعمل ثلاث حقائق طوال الوحدة: |z| = |z̄| = |−z| وz · z̄ = |z|² (لأن (x + yi)(x − yi) = x² + y²)، وإذا كانت السعة الأساسية لـ z هي θ فسعة z̄ هي −θ (إلا أن العدد الحقيقي السالب يبقى π)، وسعة −z هي θ − π عندما θ > ٠ وθ + π عندما θ ≤ ٠.
α = tan⁻¹(|y| ÷ |x|) الزاوية الحادة المرجعية
الربع
إشارتا x و y
السعة الأساسية θ
الأول
x > 0, y > 0
α
الثاني
x < 0, y > 0
π − α
الثالث
x < 0, y < 0
α − π
الرابع
x > 0, y < 0
−α
Worked examples
أوجد المقياس والسعة الأساسية لـ z = −٣ − ٣√٣ i. |z| = √(٩ + ٢٧) = ٦. الزاوية المرجعية α = tan⁻¹(٣√٣/٣) = tan⁻¹(√٣) = π/٣. النقطة في الربع الثالث فيكون θ = α − π = −٢π/٣ أي −١٢٠°. التحقق: ٦ cos(−١٢٠°) = −٣ و٦ sin(−١٢٠°) = −٣√٣.
أعداد على المحورين: −٧ مقياسه ٧ وسعته π؛ و٦i مقياسه ٦ وسعته π/٢؛ و−٢i مقياسه ٢ وسعته −π/٢. وإذا كانت السعة الأساسية لـ z هي ٢π/٣ (أكبر من ٠) فسعة z̄ هي −٢π/٣ وسعة −z هي ٢π/٣ − π = −π/٣.
Class activity
فحص الأرباع. اختر نقطة في كل ربع من الأرباع الأربعة مثل (٢, ١) و(−٢, ١) و(−٢, −١) و(٢, −١) واحسب α لكل منها. ثم استعمل الجدول لتكتب السعات الأساسية الأربع بدلالة α.
