الحد الخالي من x والنسب بين الحدود والحد الأكبر
Answers are for parents and teachers.
1
أوجد الحد الخالي من x في (x³ + ١/x)¹².
القوة ٣(١٢ − r) − r = ٣٦ − ٤r = ٠ إذن r = ٩ والحد T١٠ = ١٢C٩ = ٢٢٠.
2
بيّن أن (x² + ٢/x⁴)¹⁰ لا يحتوي على حد خالٍ من x، وعيّن قيم n التي يوجد فيها حد كهذا في (x² + ٢/x⁴)ⁿ.
القوة ٢(١٠ − r) − ٤r = ٢٠ − ٦r = ٠ تعطي r = ١٠/٣ وهو ليس عددًا صحيحًا فلا يوجد حد خالٍ من x. وبوجه عام ٢n − ٦r = ٠ أي r = n/٣: يجب أن يكون n من مضاعفات ٣.
3
في (١ + ٣x)⁸ أوجد x بحيث T٤ = T٣.
T٤ ÷ T٣ مع r = ٣ هو ((٨ − ٣ + ١)/٣)(٣x) = ٦x = ١ إذن x = ١/٦. (التحقق: T٣ = ٢٥٢x² وT٤ = ١٥١٢x³ و١٥١٢x = ٢٥٢ تعطي x = ١/٦.)
4
معاملات ثلاثة حدود متتالية في (١ + x)ⁿ هي ٢٠, ١٥, ٦. أوجد n.
(n − r + ١)/r = ١٥/٢٠ = ٣/٤ تعطي ٤n + ٤ = ٧r. و(n − r)/(r + ١) = ٦/١٥ = ٢/٥ تعطي ٥n = ٧r + ٢. نطرح الأولى من الثانية: n − ٤ = ٢ إذن n = ٦ (وr = ٤). التحقق: ٦C٣ = ٢٠ و٦C٤ = ١٥ و٦C٥ = ٦.
5
أوجد الحد الأكبر في (٥ + ٢x)¹⁰ عندما x = ١.
T(r+١)/T(r) = ((١١ − r)/r)(٢/٥) ≥ ١ تعني ٢٢ − ٢r ≥ ٥r أي r ≤ ٢٢/٧ ونحو ٣٫١٤. ترتفع الحدود حتى T٤ = ١٠C٣ · ٥⁷ · ٢³ = ١٢٠ × ٧٨١٢٥ × ٨ = ٧٥٠٠٠٠٠٠.