الضرب القياسي بالإحداثيات، والزاوية بين متجهين، وشرط التعامد
اكتب A = Aₓi + Aᵧj + Azk وB = Bₓi + Bᵧj + Bzk واضرب بخاصية التوزيع. وبما أن i · i = j · j = k · k = ١ وكل الضرب المختلط يساوي ٠ فلا يبقى إلا ثلاثة حدود: A · B = AₓBₓ + AᵧBᵧ + AzB_z. وفي متجهات المستوى حدّان فقط. وبمقارنة هذه الصيغة بالتعريف نحصل على الزاوية: cos θ = (A · B)/(‖A‖‖B‖). ثم الزاوية هي θ = cos⁻¹(…)، أي الزاوية التي جيب تمامها هذا العدد. وثلاث حالات تستحق التذكر: cos θ = ١ يعني متوازيين في اتجاه واحد، و−١ متوازيين متعاكسين، و٠ متعامدين. فاختبار الزاوية القائمة السريع هو A · B = ٠. ويبين الجدول ماذا تخبرنا إشارة A · B. أما التوازي فيُختبر بطريقة أخرى: أن يكون أحد المتجهين مضاعفًا للآخر.
| A · B | الزاوية θ بين المتجهين |
|---|---|
| موجب | حادة: ٠° ≤ θ < ٩٠° |
| صفر | قائمة: θ = ٩٠° (المتجهان غير صفريين) |
| سالب | منفرجة: ٩٠° < θ ≤ ١٨٠° |
متعامدان أم لا؟ اختر ثلاثة أعداد صغيرة a, b, c واكتب المتجه (a, b, c). حاول إيجاد متجه آخر ناتج ضربه القياسي به صفر باختيار عددين من أعداده بحرية وحل المعادلة لإيجاد الثالث. وتحقق بالضرب القياسي.