Week 10 · The scalar product: definition, properties, coordinates, the angle between two vectors, the component and the projection of one vector on another · 3 lessons
3
مركبة متجه في اتجاه متجه آخر ومسقطه
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 3
Goalأوجد مركبة متجه في اتجاه متجه آخر، ومسقطه عليه.
New words
مركبة A في اتجاه B · العدد A · B ÷ ‖B‖ = ‖A‖ cos θ؛ موجب إذا كانت الزاوية حادة وسالب إذا كانت منفرجةمتجه المسقط · (A · B ÷ ‖B‖²) B وهو الجزء من A الواقع على اتجاه Bموضع العمود · النقطة التي يلاقي فيها العمود النازل من رأس A الخط المار بـ B
Explanation
تخيل ضوءًا يسقط عموديًّا من الجانب على المستقيم الحامل للمتجه B: ظل A على ذلك المستقيم هو مسقط A على B. وطوله بإشارته هو مركبة A في اتجاه B: AB = ‖A‖ cos θ = (A · B)/‖B‖. وهي عدد، موجب عندما تكون θ حادة وسالب عندما تكون منفرجة وصفر عندما يتعامد المتجهان. أما متجه المسقط نفسه فله هذا الطول في اتجاه متجه الوحدة B/‖B‖: (A · B/‖B‖²) B. وفي الشكل A = (٤, ٣) وB = (٦, ٠): المركبة ٢٤/٦ = ٤ وموضع العمود (٤, ٠). وبالنسبة للمحاور A · i = Aₓ وA · j = Aᵧ وA · k = Az، فالمركبات في الدروس السابقة حالات خاصة. وفي الميكانيكا مركبة القوة في اتجاه معين هي الجزء من القوة الذي يؤثر في ذلك الاتجاه.
قوة F = (١٠, −٣, ٤) نيوتن تؤثر في نقطة تتحرك من A(٠, ١, ٢) إلى B(٢, ٤, ٨). أوجد مركبة F في اتجاه AB. AB = (٢, ٣, ٦) ومعياره ٧. F · AB = ٢٠ − ٩ + ٢٤ = ٣٥ فالمركبة ٣٥/٧ = ٥ نيوتن.
الإشارة والمحاور. للمتجه A = (−٣, ٤, ١٢): A · i = −٣ وA · j = ٤ وA · k = ١٢. المركبة على i سالبة: أي أن A يميل عكس الاتجاه الموجب لمحور x. ومركبة A في اتجاه (٠, ٠, ٧) هي ٨٤/٧ = ١٢ وهي نفسها على k.
Class activity
لعبة الظل. أمسك قلمًا تحت مصباح فوق ورقة بحيث يسقط ظله على خط مرسوم عليها. اجعل القلم عموديًّا على الخط ثم أمِله. متى يكون الظل أطول ما يمكن ومتى ينعدم؟
Practice
1
أوجد مركبة (٣, −١, ٢) في اتجاه (١, −٢, ٢).
