الضرب القياسي والزاوية بين متجهين ومركبة المتجه
Answers are for parents and teachers.
1
‖A‖ = ٦ و‖B‖ = ٤ وA · B = −١٢. أوجد الزاوية بين A وB و‖A + B‖.
cos θ = −١٢/٢٤ = −١/٢ فيكون θ = ١٢٠°. و‖A + B‖² = ٣٦ − ٢٤ + ١٦ = ٢٨ فيكون ‖A + B‖ = ٢√٧.
2
ABCD مربع طول ضلعه ٥. أوجد AB · AC وAB · BC وAC · BD.
AB · AC = ٥ × ٥√٢ × cos ٤٥° = ٢٥. وAB · BC = ٠. وقطرا المربع متعامدان فيكون AC · BD = ٠.
3
أوجد الزاوية بين (٢, −٢, ١) و(−٢, ١, ٢).
A · B = −٤ − ٢ + ٢ = −٤ ومعيار كل منهما ٣ فيكون cos θ = −٤/٩ وθ ≈ ١١٦٫٤°.
4
لأي قيمة من k يتعامد (٥, k, −١) و(٢, ٣, k)؟
١٠ + ٣k − k = ٠ فيكون k = −٥. تحقق: (٥, −٥, −١) · (٢, ٣, −٥) = ١٠ − ١٥ + ٥ = ٠.
5
قوة F = (٩, ٣, ٣) نيوتن تؤثر على خط اتجاهه (١, ٢, ٢). أوجد مركبة F في هذا الاتجاه ومتجه المسقط.
F · d = ٩ + ٦ + ٦ = ٢١ و‖d‖ = ٣ فالمركبة ٧ نيوتن. ومتجه المسقط ٧ × (١, ٢, ٢)/٣ = (٧/٣, ١٤/٣, ١٤/٣).