☰ خطة العام · الرياضيات (بالعربية)

الوسيط والمنوال والقيم المتطرفة والمدى

الأسبوع 14 · Median, mode, outliers and the range · 3 دروس
2

القيم المتطرفة وكيف تشدّ الوسط

Discover Mathematics P6: Term 1, Unit 7, Lessons 3–4
Goalأحدد القيمة المتطرفة وأرى كيف تغيّر الوسط والوسيط والمنوال، وأقرر متى أستبعدها.
New words
قيمة متطرفة · قيمة بعيدة جدًّا عن بقية البياناتغير متأثر · لا يتغير كثيرًا بسبب القيمة المتطرفة (كالوسيط والمنوال)خطأ في التسجيل · قيمة كُتبت خطأً مثل ٢٠ بدل ٢
Explanation

القيمة المتطرفة هي قيمة بعيدة جدًّا عن بقية البيانات. وتحدث لأسباب مختلفة: خطأ عند كتابة العدد، أو يوم خاص، أو حالة نادرة فعلًا. تشدّ القيمة المتطرفة الوسط الحسابي بقوة نحوها لأنه يستخدم كل القيم، أما الوسيط والمنوال فيتغيران قليلًا أو لا يتغيران. لذلك يصف الوسيط القيمة النموذجية أفضل عند وجود قيمة متطرفة. يجوز أن نستبعد القيمة المتطرفة إذا كانت خطأً (أو لا تنتمي إلى المجموعة التي ندرسها)، لكن نذكر ذلك. وإذا كانت قيمة حقيقية فنُبقيها ونذكر الوسيط مع الوسط.

★Remember
القيمة المتطرفة = بعيدة عن البقية. تشدّ الوسط كثيرًا والوسيط قليلًا والمنوال عادة لا تؤثر فيه. نستبعدها فقط إذا كانت خطأً أو لا تنتمي.
Worked examples
بدون ٤٥مع ٤٥
الوسط١٠١٥
الوسيط١٠١٠
المنوال١٠١٠
انتظر ستة تلاميذ الحافلة ٨ و٩ و١٠ و١٠ و١١ و١٢ دقيقة. الوسط والوسيط والمنوال كلها ١٠. في يوم تعطلت الحافلة فانتظر تلميذ ٤٥ دقيقة. الآن الوسط (٦٠ + ٤٥) ÷ ٧ = ١٥، لكن الوسيط ما زال ١٠ والمنوال ما زال ١٠. القيمة المتطرفة ٤٥ غيّرت الوسط فقط.
أي مقياس أعدل؟ عدّ سبعة تلاميذ الكتب في بيوتهم: ٥، ٨، ٨، ١٠، ١٢، ١٢، ٨٥. المجموع ١٤٠ والوسط ٢٠. لكن ستة من السبعة عندهم ١٢ كتابًا أو أقل، فالعدد ٢٠ ليس نموذجيًّا. الوسيط ١٠ يصف المجموعة أفضل. التلميذ صاحب ٨٥ كتابًا حقيقي فنُبقيه، لكن نذكر الوسيط.
خطأ في التسجيل. سجّل حازم أهداف خمسة لاعبين ٢ و٣ و١ و٢ و٢٠، لكن العدد ٢٠ كان يجب أن يكون ٢. مع الخطأ يكون الوسط ٢٨ ÷ ٥ = ٥٫٦ وهو بعيد عن الحقيقة. وبعد التصحيح تصير البيانات ٢ و٣ و١ و٢ و٢ والوسط ١٠ ÷ ٥ = ٢. هنا القيمة المتطرفة خطأ، فنصححها.
Class activity

اكتشف القيمة المتطرفة. يكتب أحد الكبار سبعة أعداد عن حياة الأسرة، وأحدها بعيد عن الباقي (مثل عدد الضيوف في سبعة أيام ويوم فيه حفلة كبيرة). جد القيمة المتطرفة، وأوجد الوسط معها ودونها، وقل أي عدد أكثر نموذجية.

Practice
1
ما القيمة المتطرفة في ١٢ و١٤ و١٥ و١٣ و١٦ و٦٠؟
2
وسط ٤ و٥ و٥ و٦ هو ٥. أضف القيمة المتطرفة ٢٥. ما الوسط والوسيط الجديدان؟
3
عند إضافة قيمة متطرفة، أيّ من الوسط والوسيط والمنوال يتغير عادة أكثر؟
4
متى يجوز أن نستبعد قيمة متطرفة من البيانات، وماذا يجب أن نفعل حينئذٍ؟
5
للبيانات ٦ و٧ و٧ و٨ و١٠ و١٠ وسط ٨ ووسيط ٧٫٥. أضف ٣٦. أوجد الوسط والوسيط الجديدين.