2
قضبان وألواح وأثقال في وضع أفقي: إيجاد القوى المجهولة من الشكل، ثم تمارين الدراجة النارية والوتد والخيطين وحاملي الثقل
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2, Part 2
Goalأوجد قوى ومواضع مجهولة على قضبان وألواح محملة في حالة اتزان، ومنها حمل على عجلتين وقضيب على حامل مع خيط وخيوط لها أكبر شد.
New words
أكبر شد · أكبر قوة شد يتحملها الخيط قبل أن ينقطعخيط مرتخٍ · خيط أصبح شدّه صفرًا للتو
Explanation
تُحل كل مسائل هذا الدرس بالخطوات الثلاث نفسها. (١) نرسم القضيب ونحدد كل قوة واتجاهها (أسهم إلى أعلى للحوامل والخيوط وإلى أسفل للأثقال) والمسافات. (٢) نكتب ΣY = ٠. (٣) نأخذ العزوم حول النقطة التي تؤثر فيها أكثر القوى المجهولة، مع اعتبار عكس عقارب الساعة موجبًا، ونحل. حالات تستحق التنبه: الحمل ذو العجلتين (دراجة أو عربة) لوح على حاملين هما العجلتان. وقضيب يرتكز على حامل واحد ويمسكه خيط رأسي أفقيًا: الخيط حامل ثانٍ يشد إلى أعلى. ويكون الخيط على وشك الارتخاء عندما يصبح شدّه صفرًا. وللحصول على أكبر شد نكتب الشد بدلالة الموضع المجهول ونستعمل الشرط «الشد لا يزيد على القيمة العظمى» فنحصل على مدى من المواضع.
| الحالة | نعدّها | نأخذ العزوم حول |
|---|---|---|
| دراجة أو عربة | لوحًا على حاملين هما العجلتان | إحدى العجلتين |
| قضيب على حامل مع خيط رأسي | قوتين إلى أعلى: رد الفعل والشد | الحامل |
| خيط على وشك الارتخاء | الشد يساوي ٠ | الحامل الآخر |
Worked examples
قضيب خفيف يرتكز أفقيًا على حاملين. تؤثر K إلى أعلى عند A و٢٠ N إلى أسفل على بعد ٦ cm من A وF إلى أعلى على بعد ٢٤ cm من A و٣٠ N إلى أسفل عند B على بعد ٢٨ cm من A. أوجد F وK. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. حول A: ٢٤F − ٦ × ٢٠ − ٢٨ × ٣٠ = ٠ فيكون ٢٤F = ٩٦٠ وF = ٤٠ N. القوى الرأسية: K + ٤٠ − ٢٠ − ٣٠ = ٠ فيكون K = ١٠ N. التحقق حول B: −٢٨ × ١٠ + ٢٢ × ٢٠ − ٤ × ٤٠ = −٢٨٠ + ٤٤٠ − ١٦٠ = ٠.
تلامس عجلتا دراجة الأرض وبينهما ١٠٠ cm. وزن الدراجة ١٥٠ N ويؤثر في منتصف المسافة بين العجلتين، ووزن الراكب ٦٠٠ N ويؤثر على بعد ٦٠ cm خلف العجلة الأمامية. أوجد رد فعل الأرض على كل عجلة. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. حول العجلة الأمامية: ١٠٠ Rrear − ١٥٠ × ٥٠ − ٦٠٠ × ٦٠ = ٠ فيكون Rrear = ٤٣٥٠٠ / ١٠٠ = ٤٣٥ N وRfront = ٧٥٠ − ٤٣٥ = ٣١٥ N. تحمل العجلة الخلفية أكثر لأن الراكب أقرب إليها.
Class activity
وازِن مسطرة على قلم رصاص عند منتصفها. ثم حرّك القلم مسافة ٥ cm نحو أحد الطرفين وأمسك المسطرة أفقية بطرف إصبعك عند الطرف البعيد. هل يدفع الإصبع إلى أعلى أم إلى أسفل، وهل الدفع كبير أم صغير بالنسبة إلى وزن المسطرة؟ توقع ذلك أولًا بالعزوم حول القلم.
Practice
1
قضيب منتظم AB طوله ٩٠ cm ووزنه ٣٦ N يرتكز على حامل يبعد ٣٠ cm عن A ويمسكه أفقيًا خيط رأسي خفيف عند B. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. أوجد الشد ورد فعل الحامل. ثم أوجد الثقل الذي إذا عُلّق عند A جعل الخيط مرتخيًا.
حول الحامل S: الوزن على بعد ١٥ cm يمينه وB على بعد ٦٠ cm يمينه: ٦٠T − ١٥ × ٣٦ = ٠ يعطي T = ٩ N وRS = ٣٦ − ٩ = ٢٧ N. ارتخاء الخيط يعني T = ٠: ٣٠w = ١٥ × ٣٦ يعطي w = ١٨ N (وRS = ٥٤ N عندئذ).
2
قضيب منتظم AB طوله ٨٠ cm ووزنه ٢٤ N معلق أفقيًا بخيطين رأسيين عند A وعند C حيث AC = x cm. يتدلى حمل ٣٦ N على بعد ٢٠ cm من A. يتحمل كل خيط ٤٠ N على الأكثر. أوجد مدى x وأصغر وأكبر شد في كل خيط. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب.
حول A: xT_C = ٢٤ × ٤٠ + ٣٦ × ٢٠ = ١٦٨٠ فيكون TC = ١٦٨٠ / x وTA = ٦٠ − ١٦٨٠ / x. الشرط TC ≤ ٤٠ يتطلب x ≥ ٤٢؛ والشرط TA ≤ ٤٠ يتحقق عندما x ≤ ٨٤ وهو متحقق دائمًا على القضيب (x ≤ ٨٠). إذن ٤٢ ≤ x ≤ ٨٠. يتغير TC من ٤٠ N (عند x = ٤٢) إلى ٢١ N (عند x = ٨٠)، ويتغير TA من ٢٠ N إلى ٣٩ N.
3
يحمل عاملان حملًا وزنه ٤٨٠ N معلقًا من عمود خفيف. المسافة بينهما ٢ m ويتدلى الحمل على بعد x m من العامل A. يستطيع العامل B أن يحمل ٣٠٠ N على الأكثر. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. أوجد أكبر قيمة لـx ونصيب A عندئذ.
حول A: ٢ RB = ٤٨٠x فيكون RB = ٢٤٠x. الشرط ٢٤٠x ≤ ٣٠٠ يعطي x ≤ ١٫٢٥ m. وعندئذ RA = ٤٨٠ − ٣٠٠ = ١٨٠ N.
4
دراجة وزنها ١٠٠ N والمسافة بين عجلتيها ١٠٠ cm ووزنها يؤثر في المنتصف. يجلس راكب وزنه ٥٠٠ N بحيث يؤثر وزنه على بعد ٦٠ cm خلف العجلة الأمامية. أوجد رد الفعل على كل عجلة.
حول العجلة الأمامية: ١٠٠ Rrear = ١٠٠ × ٥٠ + ٥٠٠ × ٦٠ = ٣٥٠٠٠ فيكون Rrear = ٣٥٠ N وRfront = ٦٠٠ − ٣٥٠ = ٢٥٠ N.
5
على قضيب خفيف يرتكز على حاملين ٢٠ N إلى أسفل على بعد ٨ cm و٢٠ N إلى أسفل على بعد ٢٨ cm من A. تؤثر F إلى أعلى على بعد ٢٠ cm من A وK إلى أعلى عند A. أوجد F وK. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب.
حول A: ٢٠F = ٢٠ × ٨ + ٢٠ × ٢٨ = ٧٢٠ فيكون F = ٣٦ N. ثم K = ٤٠ − ٣٦ = ٤ N.