الأسبوع 4 · Moments: the general statement for a system of coplanar forces, moments in machines and mixed problems with unknowns · 3 دروس
3
مسائل متنوعة: إيجاد ثوابت أو قوة مجهولة من عزوم معلومة، وأصغر قوة تكفي لإدارة صامولة أو مسمار
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1, Part 3
Goalأحلّ لإيجاد ثوابت مجهولة أو قوة مجهولة من عزوم معلومة، وأوجد أصغر قوة تعطي عزمًا مطلوبًا.
New words
ثوابت مجهولة · حروف مثل a وb في قوة، تُوجد من معادلات تعطيها العزومأصغر قوة · أصغر قوة تعطي عزمًا مطلوبًا، وهي التي تؤثر عموديًا على الذراع
Explanation
كل عزم معادلة. فإذا احتوت قوة على ثابت مجهول أعطى الشرط على عزمها (صفر أو قيمة معلومة) معادلة، وشرطان يعطيان معادلتين نحلّهما. وإذا كان المجهول قوة نعرف نقطة تأثيرها أعطى العزم بالنسبة لنقطة معادلة في مركبتيها، وأعطت نقطة ثانية معادلة أخرى. وهناك حيلة مفيدة: إذا كان العزم بالنسبة لنقطة صفرًا فالقوة تمر بتلك النقطة، فقِس المواضع منها. أصغر قوة. لمفتاح ربط طوله OA يكون عزم قوة F تصنع زاوية θ معه F × OA × sin θ. وللحصول على عزم مطلوب M بأصغر قوة نريد sin θ أكبر ما يمكن وهو ١ عند θ = ٩٠°. إذن أصغر قوة هي M / OA تؤثر عموديًا على الذراع. وعند أي زاوية أخرى يجب أن تكون القوة أكبر: F = M / (OA sin θ).
Worked examples
تؤثر القوة F₁ = (p, ٢) N عند (٢, ١) والقوة F₂ = (٣, q) N عند (−١, ٢). مجموع العزوم بالنسبة لـO صفر وكذلك بالنسبة لـB(١, ٠). أوجد p وq (عكس عقارب الساعة موجب). بالنسبة لـO: ٢ × ٢ − ١ × p = ٤ − p و(−١) × q − ٢ × ٣ = −q − ٦؛ المجموع −٢ − p − q = ٠ أي p + q = −٢. بالنسبة لـB: (٢, ١) − B = (١, ١) فالعزم ١ × ٢ − ١ × p = ٢ − p؛ (−١, ٢) − B = (−٢, ٢) فالعزم (−٢) q − ٢ × ٣ = −٢q − ٦؛ المجموع −٤ − p − ٢q = ٠ أي p + ٢q = −٤. بالطرح q = −٢ ثم p = ٠. إذن F₁ = (٠, ٢) N وF₂ = (٣, −٢) N.
تؤثر قوة F في مستوى المثلث OAB حيث O(٠, ٠) وA(٠, ٣) وB(٥, ٠) (بالمتر). عزمها بالنسبة لـO يساوي +٤٥ N·m وبالنسبة لـA يساوي −١٥ N·m وبالنسبة لـB يساوي ٠. أوجد F. العزم الصفري بالنسبة لـB يعني أن خط العمل يمر بـB فنأخذ B نقطة التأثير. بالنسبة لـO: x Fy − y Fx = ٥ Fy = ٤٥ فتكون Fy = ٩. بالنسبة لـA: B − A = (٥, −٣) فيكون ٥ × ٩ − (−٣) Fx = ٤٥ + ٣Fx = −١٥ ومنه Fx = −٢٠. إذن F = (−٢٠, ٩) N ومقدارها √٤٨١ ≈ ٢١٫٩٣ N.
صامولة صدئة تحتاج إلى عزم ٣٦ N·m لتبدأ بالدوران ومفتاح الربط طوله ٠٫٣٠ m. أصغر قوة هي العمودية: F = ٣٦ / ٠٫٣٠ = ١٢٠ N. وإذا كان هناك حائط يمنع وصارت أقصى زاوية ممكنة ٥٠° مع المفتاح فإن F = ٣٦ / (٠٫٣٠ sin ٥٠°) ≈ ١٥٦٫٦ N أي أكثر بنحو ٣٠%. والمفتاح الأطول يقلل القوة: مع ٠٫٤٥ m تكون أصغر قوة ٣٦ / ٠٫٤٥ = ٨٠ N.
Class activity
خذ غطاء برطمان مغلقًا بإحكام خفيف وأدِره بإصبعين على حافته: ادفع أولًا عموديًا على نصف القطر ثم ادفع بميل. أي اتجاه أسهل؟ افعل الشيء نفسه مع ذراع صنبور رخو بحضور شخص بالغ. هذه هي فكرة أصغر قوة: عموديًا على الذراع.
Practice
1
تؤثر قوة (a, ٥) N عند (٤, ٢) وعزمها بالنسبة لـO صفر. أوجد a.
