Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1, Part 3
Goalأوجد عزم القوى في آلات: ذراع مفصلي يمسكه شدّاد، وذراع دواسة، وساق مفصلية، بالأذرع من حساب المثلثات أو بالمركبات.
New words
مفصلة · محور ثابت يدور حوله ذراع أو ساق؛ ولا يكون لرد فعله عزم حول المفصلة نفسهاشدّاد، قوة الشد T · حبل أو كابل يمسك جزءًا في مكانه؛ وتؤثر قوته على امتداد الحبلذراع الدوران · ذراع يدور حول محور مثل ذراع دواسة الدراجة
Explanation
تتكوّن الآلات من أذرع تدور حول مفصلة أو محور، ولمعرفة أثر قوة في ذراع نأخذ عزمها بالنسبة للمفصلة. وتسهّل عادتان العمل. الأولى: خذ العزوم بالنسبة للمفصلة نفسها: فرد فعل المفصلة يمر بها وذراعه صفر فيختفي من الحساب. الثانية: أوجد كل ذراع بمثلث قائم الزاوية، أو حلّل القوة إلى مركبتين على امتداد الذراع وعموديًا عليه. والقوة المؤثرة على امتداد شدّاد ذراعها هو العمود النازل من المفصلة على الشدّاد: فإذا كانت ساق طولها AB مفصلية عند A وشدّاد من B إلى نقطة C من الحائط (وAC رأسي) كان ذراع الشد AB × AC / BC وهو ارتفاع المثلث القائم على وتره. وللساق التي تميل بزاوية θ على الأفقي وقوة رأسية عند طرفها يكون الذراع هو البعد الأفقي AB cos θ. وللقوة الأفقية عند الطرف نفسه يكون الذراع هو الارتفاع الرأسي AB sin θ. وحدّد دائمًا اتجاه دوران كل قوة للذراع (عكس عقارب الساعة موجب) ثم اجمع.
Worked examples
ذراع لوحة إعلان AB طوله ١٫٢ m مثبّت في حائط بمفصلة عند A ويُبقيه أفقيًا حبل من B إلى النقطة C من الحائط وهي أعلى A بـ٠٫٩ m. شدّ الحبل ٦٠ N وتتدلى من B لوحة وزنها ٤٥ N. BC = √(١٫٢² + ٠٫٩²) = ١٫٥ m. ذراع الشد بالنسبة لـA هو ١٫٢ × ٠٫٩ / ١٫٥ = ٠٫٧٢ m والشد يجذب B إلى أعلى وإلى الحائط: عكس عقارب الساعة +٦٠ × ٠٫٧٢ = +٤٣٫٢ N·m. والوزن يؤثر إلى أسفل عند B بذراع ١٫٢ m: −٤٥ × ١٫٢ = −٥٤ N·m. مجموع العزوم بالنسبة لـA هو −١٠٫٨ N·m: ينتصر الوزن فيدور الذراع في اتجاه عقارب الساعة. (تحقق بالمركبات: الشد (−٤٨, ٣٦) N و١٫٢ × ٣٦ = ٤٣٫٢.)
ذراع دواسة دراجة طوله ١٧٫٥ cm يتجه إلى الأمام وإلى أعلى بزاوية ٤٠° فوق الأفقي. يدفع راكب الدواسة رأسيًا إلى أسفل بقوة ٢٠٠ N. نأخذ المحور نقطة O. تبعد الدواسة أفقيًا عن O بمقدار ٠٫١٣٤ m (٠٫١٧٥ cos ٤٠°) فذراع القوة الرأسية ٠٫١٣٤ m. والدفع إلى أسفل على يمين O يدير في اتجاه عقارب الساعة: M = −٢٠٠ × ٠٫١٣٤ ≈ −٢٦٫٨١ N·m. بالإحداثيات: الدواسة عند (٠٫١٣٤, ٠٫١١٢) والقوة (٠, −٢٠٠) وM = x Fy − y Fx = ٠٫١٣٤ × (−٢٠٠) − ٠.
ساق خفيفة AB طولها ٨٠ cm مثبتة بمفصلة عند A وتميل إلى أعلى بزاوية ٣٠° فوق الأفقي. عند B تشدّ قوة ٢٥ N رأسيًا إلى أسفل وقوة ١٥ N أفقيًا نحو جهة اليسار. تقع B عند (٠٫٦٩٢٨, ٠٫٤) m من A. القوة الرأسية: الذراع ٠٫٦٩٢٨ m في اتجاه عقارب الساعة: −١٧٫٣٢ N·m. والقوة الأفقية نحو اليسار على ارتفاع ٠٫٤ m فوق A تدير عكس عقارب الساعة: +١٥ × ٠٫٤ = +٦ N·m. المجموع −١١٫٣٢ N·m في اتجاه عقارب الساعة.
Class activity
ضع مسطرة كذراع مفصلي: ثبّت أحد طرفيها عند حافة المكتب كمفصلة وعلّق من الطرف الآخر حقيبة صغيرة (أقل من ٠٫٣ kg) بحلقة من الخيط، ثم أمسك المسطرة بخيط ثانٍ مربوط من طرف الحقيبة إلى نقطة فوق المفصلة تمسكها بإصبعك. لاحظ أن الخيط الأشد ميلًا يحتاج إلى شد أقل. لا تعلّق أثقالًا فوق رأس أحد أبدًا.
Practice
1
ساق مفصلية عند A طولها ١٫٥ m وتصنع ٦٠° مع الأفقي. تؤثر قوة رأسية ٤٠ N إلى أسفل عند طرفها العلوي. أوجد العزم بالنسبة لـA (عكس عقارب الساعة موجب).
البعد الأفقي للطرف ١٫٥ cos ٦٠° = ٠٫٧٥ m والقوة إلى أسفل على يمين A: M = −٤٠ × ٠٫٧٥ = −٣٠ N·m.
2
مفتاح ربط طوله ٠٫٤ m تؤثر في طرفه قوة ٥٠ N تصنع ٣٠° مع المفتاح. أوجد مقدار العزم حول الصامولة.
|M| = ٥٠ × ٠٫٤ × sin ٣٠° = ١٠ N·m.
3
ساعد يدور حول المرفق A واليد عند B على بعد ٠٫٢٨ m، ويميل ٢٠° فوق الأفقي. تشدّ العضلة عموديًا على الساعد إلى أعلى بقوة ٢٥٠ N عند نقطة تبعد ٠٫٠٥ m عن A، وتحمل اليد كرة وزنها ١٥ N. أوجد مجموع العزوم بالنسبة لـA (عكس عقارب الساعة موجب).
العضلة: القوة عمودية على الساعد فالعزم +٢٥٠ × ٠٫٠٥ = +١٢٫٥ N·m. الكرة: الوزن إلى أسفل وذراعه ٠٫٢٨ cos ٢٠° ≈ ٠٫٢٦٣ m في اتجاه عقارب الساعة: −١٥ × ٠٫٢٦٣ ≈ −٣٫٩٥ N·m. المجموع ≈ +٨٫٥٥ N·m.
4
في مثال ذراع اللوحة ما قوة الشد التي تجعل العزوم بالنسبة لـA متزنة تمامًا (مجموعها صفر)؟ (AB = ١٫٢ m وAC = ٠٫٩ m والوزن ٤٥ N.)
T × ٠٫٧٢ = ٤٥ × ١٫٢ = ٥٤ فتكون T = ٧٥ N.
5
لماذا لا يظهر رد فعل المفصلة عندما نأخذ العزوم بالنسبة للمفصلة؟
