الأسبوع 13 · Resultant couple: a system equivalent to a couple, forces along the sides of a triangle, and of a closed polygon · 3 دروس
3
الفكرة نفسها في مضلع مغلق، ونموذجها الشكل الرباعي ذو الضلعين المتساويين، وإيجاد القوى من عزم الازدواج المعلوم
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2, Part 1
Goalعمّم قاعدة المثلث على مضلع مغلق، مستعملًا المستطيل والشكل الرباعي ذا الضلعين المتساويين نموذجين، وأوجد القوى من عزم الازدواج.
New words
مضلع مغلق · قوى m × الضلع على كل ضلع بالترتيب حول الشكل: المحصلة صفرالشكل الرباعي ذو الضلعين المتساويين · شكل رباعي فيه زوجان من الضلعين المتجاورين المتساويين وقطراه متعامدان
Explanation
لنأخذ قوى m × (الضلع) على كل ضلع من مضلع مغلق بالترتيب حوله. مجموعها m × (مجموع متجهات الأضلاع) = ٠ فتكون R = ٠. وللعزم نأخذ نقطة O داخل المضلع. القوة على ضلع طوله s عزمها m × s × (بعد O عن الضلع)، وs × البعد يساوي ضعف مساحة المثلث المكوَّن من O وهذا الضلع. جميع العزوم في الاتجاه نفسه فيكون M = ٢ × (مساحة المضلع) × m. الإشارة موجبة إذا كان ترتيب الرؤوس عكس عقارب الساعة. قد تختلف أطوال الأضلاع لكن m واحدة لها كلها. ويوضح المستطيل ذلك: زوجا القوى يكوّنان ازدواجين. أما الشكل الرباعي ذو الضلعين المتساويين (زوجان من الأضلاع المتجاورة المتساوية وقطراه متعامدان) فمساحته ½ × حاصل ضرب القطرين، فيسهل إيجادها.
Worked examples
المستطيل ABCD (ترتيبه عكس عقارب الساعة) فيه AB = ١٠ cm وBC = ٦ cm. تؤثر قوى ٥ N و٣ N و٥ N و٣ N على AB وBC وCD وDA بالترتيب. بيّن أن العزم ٢ × المساحة × m. الحل: m = ٥ / ١٠ = ٣ / ٦ = ٠٫٥ N لكل cm. المساحة ٦٠ cm² فيكون ٢ × ٦٠ × ٠٫٥ = ٦٠ N·cm. مباشرة: القوتان على AB وCD تكوّنان ازدواجًا ٥ × ٦ = ٣٠ N·cm والقوتان على BC وDA ازدواجًا ٣ × ١٠ = ٣٠ N·cm وكلاهما عكس عقارب الساعة: المجموع +٦٠ N·cm.
الشكل الرباعي ABCD فيه AB = AD = ١٠ cm وCB = CD = ١٧ cm، وقطراه متعامدان AC = ٢١ cm وBD = ١٦ cm، وترتيب A وB وC وD عكس عقارب الساعة. تؤثر قوى متناسبة مع الأضلاع على AB وBC وCD وDA بالترتيب وتكوّن ازدواجًا عزمه ٨٤٠ N·cm. أوجد القوى الأربع. الحل: المساحة ½ × ٢١ × ١٦ = ١٦٨ cm². ٢ × ١٦٨ × m = ٨٤٠ فيكون m = ٢٫٥ N لكل cm. القوى ٢٫٥ × ١٠ = ٢٥ N على AB و٢٫٥ × ١٧ = ٤٢٫٥ N على BC و٤٢٫٥ N على CD و٢٥ N على DA.
Class activity
قصّ من الكرتون مستطيلًا أبعاده ١٠ cm و٦ cm. علّم على كل ضلع سهمًا صغيرًا بالترتيب حول الشكل أطواله ٥ و٣ و٥ و٣ وحدات (أي m = ٠٫٥). أي الأزواج تكوّن ازدواجات؟ اجمع عزميهما (٥ × ٦ و٣ × ١٠) وقارن بالقيمة ٢ × المساحة × m.
Practice
1
مربع ABCD ضلعه ١٢ cm وترتيبه عكس عقارب الساعة، تؤثر قوة ٦ N على كل ضلع بالترتيب. أوجد عزم الازدواج.
m = ٦ / ١٢ = ٠٫٥؛ المساحة ١٤٤ cm². M = ٢ × ١٤٤ × ٠٫٥ = +١٤٤ N·cm (ازدواجان كل منهما ٦ × ١٢ = ٧٢).
2
مسدس منتظم ضلعه ١٠ cm (ترتيبه عكس عقارب الساعة) تؤثر قوة ٦٠ N على كل ضلع بالترتيب. أوجد العزم (القيمة الدقيقة وتقريبًا لأقرب منزلة عشرية). استعمل المساحة = (٣√٣ / ٢) × مربع الضلع.
معين ABCD (ترتيبه عكس عقارب الساعة) ضلعه ١٠ cm والزاوية ABC = ٦٠°، تؤثر قوة ١٥ N على كل ضلع بالترتيب. أوجد عزم الازدواج. استعمل المساحة = مربع الضلع × sin ٦٠°.
m = ١٫٥ N لكل cm؛ المساحة ١٠٠ × (√٣ / ٢) = ٥٠√٣ cm². M = ٢ × ٥٠√٣ × ١٫٥ = ١٥٠√٣ ≈ ٢٥٩٫٨ N·cm.
4
مستطيل ضلعاه ٨ cm و٥ cm (ترتيبه عكس عقارب الساعة) تؤثر عليه قوى متناسبة مع الأضلاع بالترتيب وتكوّن ازدواجًا عزمه ١٢٠ N·cm. أوجد القوى الأربع.
المساحة ٤٠ cm². ٢ × ٤٠ × m = ١٢٠ فيكون m = ١٫٥. القوى: ١٫٥ × ٨ = ١٢ N على الضلعين ٨ cm و١٫٥ × ٥ = ٧٫٥ N على الضلعين ٥ cm.
5
مستطيل ١٠ cm في ٦ cm تؤثر قوة ٥ N على كل ضلع من أضلاعه الأربعة بالترتيب (عكس عقارب الساعة). هل النظام ازدواج؟ وما عزمه؟ وهل تنطبق القاعدة ٢ × المساحة × m؟
R = ٠ (على كل ضلعين متقابلين قوتان متساويتان ومتضادتان) فهو ازدواج: ٥ × ٦ + ٥ × ١٠ = ٨٠ N·cm. القاعدة ٢ × المساحة × m لا تنطبق لأن القوى غير متناسبة مع الأضلاع (m تساوي ٠٫٥ على الضلعين الطويلين و٠٫٨٣ على القصيرين).
