الأسبوع 13 · Resultant couple: a system equivalent to a couple, forces along the sides of a triangle, and of a closed polygon · 3 دروس
2
ثلاث قوى تمثلها أضلاع مثلث بالترتيب الدوري: ازدواج عزمه يساوي ضعف مساحة المثلث × القوة الممثلة لوحدة الطول
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2, Part 1
Goalأوجد الازدواج المكوَّن من ثلاث قوى تمثلها أضلاع مثلث بالترتيب الدوري واستعمل M = ٢ × المساحة × m.
New words
القوة لكل وحدة طول m · قوى متناسبة مع الأضلاع: القوة على ضلع طوله s تساوي m × sبالترتيب الدوري · على AB من A إلى B وعلى BC من B إلى C وعلى CA من C إلى A
Explanation
ليكن ABC مثلثًا وتؤثر ثلاث قوى على أضلاعه: m × AB على AB (من A إلى B) وm × BC على BC وm × CA على CA، حيث m عدد ثابت من النيوتن لكل وحدة طول. القوتان الأوليان تتلاقيان عند B ومحصلتهما m(AB + BC) = m × AC كمتجه أي m × AC في اتجاه A إلى C وتؤثر عند B. والقوة الثالثة m × CA في اتجاه C إلى A على الخط CA. إذن النظام قوتان متساويتان ومتضادتان مقدار كل منهما m × AC على خطين متوازيين البعد بينهما ارتفاع المثلث BD من B على AC. وهذا ازدواج عزمه m × AC × BD. وAC × BD = ٢ × مساحة المثلث فيكون M = ٢ × المساحة × m. الإشارة موجبة (عكس عقارب الساعة) إذا كان ترتيب A وB وC عكس عقارب الساعة، وسالبة إذا كان في اتجاهها. القاعدة تتطلب قوى متناسبة مع الأضلاع.
Worked examples
في المثلث ABC: AB = ٥ cm وBC = ١٢ cm وCA = ١٣ cm (قائم في B) وترتيب A وB وC عكس عقارب الساعة. تؤثر قوى ١٠ N و٢٤ N و٢٦ N على AB وBC وCA بالترتيب. أوجد الازدواج المحصل. الحل: m = ١٠ / ٥ = ٢٤ / ١٢ = ٢٦ / ١٣ = ٢ N لكل cm. المساحة ½ × ٥ × ١٢ = ٣٠ cm². M = ٢ × ٣٠ × ٢ = +١٢٠ N·cm (عكس عقارب الساعة). تحقق حول A: القوتان ١٠ N و٢٦ N تمران بـA فلا عزم لهما، والقوة ٢٤ N عند B على بعد ٥ cm من A وعمودية على AB: ٥ × ٢٤ = ١٢٠.
المثلث ABC فيه AB = ١٣ cm وBC = ١٤ cm وCA = ١٥ cm وترتيب A وB وC عكس عقارب الساعة. قوى على AB وBC وCA بالترتيب متناسبة مع الأضلاع تكوّن ازدواجًا عزمه ١٦٨٠ N·cm. أوجد القوى الثلاث. الحل: المساحة (هيرون، s = ٢١) = √(٢١ × ٨ × ٧ × ٦) = ٨٤ cm². ٢ × ٨٤ × m = ١٦٨٠ فيكون m = ١٠ N لكل cm. القوى ١٠ × ١٣ = ١٣٠ N و١٠ × ١٤ = ١٤٠ N و١٠ × ١٥ = ١٥٠ N.
Class activity
ارسم على ورق مربعات مثلثًا أطوال أضلاعه ٣ و٤ و٥ مربعات (قائمة عند أحد الرؤوس). ارسم على كل ضلع سهمًا طوله بالمربعات يساوي طول الضلع (أي m = ١). تحقق من أن الأسهم الثلاثة حين توصل رأسًا بذيل ترسم مثلثًا مغلقًا (محصلة صفر). ثم عدّ مساحة المثلث بالمربعات واحسب ٢ × المساحة × ١.
Practice
1
مثلث متساوي الأضلاع ABC طول ضلعه ٨ cm (ترتيبه عكس عقارب الساعة) تؤثر قوة ١٢ N على كل ضلع بالترتيب. أوجد عزم الازدواج المحصل (القيمة الدقيقة وتقريبًا لأقرب منزلة عشرية).
m = ١٢ / ٨ = ١٫٥ N لكل cm؛ المساحة (√٣ / ٤) × ٦٤ = ١٦√٣ cm². M = ٢ × ١٦√٣ × ١٫٥ = ٤٨√٣ ≈ ٨٣٫١ N·cm عكس عقارب الساعة.
في مثلث المثال ١ (٥ cm و١٢ cm و١٣ cm والقوى ١٠ N و٢٤ N و٢٦ N) أخذت القوى بالترتيب A→C ثم C→B ثم B→A أي في اتجاه عقارب الساعة. ما العزم (عكس عقارب الساعة موجب)؟
المقدار ما زال ١٢٠ N·cm لكن الاتجاه انعكس: M = −١٢٠ N·cm.
5
في ذلك المثلث القوى على AB وBC وCA هي ١٠ N و٢٤ N و٢٠ N. هل النظام ازدواج؟ لماذا؟
لا. القوى غير متناسبة مع الأضلاع (١٠/٥ و٢٤/١٢ و٢٠/١٣ غير متساوية) فلا تُغلق مثلثًا: R ≠ ٠ ويؤول النظام إلى قوة واحدة.
