الأسبوع 11 · Couples: two equal opposite forces, the moment of a couple, its independence of the point, and equilibrium under several couples · 3 دروس
2
عزم الازدواج واحد حول أي نقطة ويُثبت بالمتجهات، وإيجاد ثوابت قوتين تكوّنان ازدواجًا وعزمه من الإحداثيات
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 1, Part 1
Goalبيّن أن عزم الازدواج واحد حول أي نقطة، وأوجد ثوابت قوتين تكوّنان ازدواجًا وعزم الازدواج من الإحداثيات.
New words
العزم حول O · لقوة (Fx, Fy) تؤثر عند (x, y) يكون M = x·Fy − y·Fx حول نقطة الأصل (عكس عقارب الساعة موجب)قوتان تكوّنان ازدواجًا · F₂ = −F₁ وتؤثران عند نقطتين مختلفتين ليستا على خط عمل واحد
Explanation
لقوة (Fx, Fy) عند النقطة (x, y) العزم x·Fy − y·Fx حول نقطة الأصل (الأسبوع ٢). ليكن الازدواج F عند A(x₁, y₁) و−F عند B(x₂, y₂). العزمان حول نقطة الأصل هما x₁Fy − y₁Fx و−(x₂Fy − y₂Fx). بالجمع نحصل على M = (x₁ − x₂)Fy − (y₁ − y₂)Fx. اختفى موضع نقطة الأصل ولم يبقَ إلا المتجه من B إلى A. إذن للازدواج العزم نفسه حول أي نقطة، ويمكن إيجاده سريعًا كعزم إحدى القوتين حول النقطة التي تؤثر فيها القوة الأخرى. تكوّن القوتان F₁ وF₂ ازدواجًا عندما F₂ = −F₁ (مركبتان متساويتان ومتضادتان) وتؤثران عند نقطتين مختلفتين، ومن مقارنة المركبات نجد الثوابت المجهولة. الذراع L = |M| / |F|. اصطلاح الإشارة: عكس عقارب الساعة موجب.
F₁ = (p, ٢) N عند A(٤, ١) وF₂ = (−١, q) N عند B(٠, ٥) تكوّنان ازدواجًا (الإحداثيات بالمتر). أوجد p وq والعزم (عكس عقارب الساعة موجب) ثم تحقق منه بأخذ العزوم حول C(٣, −٢). الحل: F₂ = −F₁ يعطي p = ١ وq = −٢ فتكون F₁ = (١, ٢). المتجه من B إلى A هو (٤, −٤) فيكون M = ٤ × ٢ − (−٤) × ١ = ٨ + ٤ = ١٢ N·m. التحقق حول C: F₁ عند A والمتجه من C هو (١, ٣): ١ × ٢ − ٣ × ١ = −١. F₂ = (−١, −٢) عند B والمتجه من C هو (−٣, ٧): (−٣)(−٢) − ٧ × (−١) = ١٣. المجموع −١ + ١٣ = ١٢ N·m وهو العزم نفسه.
Class activity
على ورق مربعات (المربع الواحد وحدة) عيّن A(٢, ٠) وB(٠, ٣). ارسم قوة مقدارها وحدتان إلى أعلى عند A وقوة مقدارها وحدتان إلى أسفل عند B. لكل من النقاط O(٠, ٠) وP(٥, ١) وQ(−٢, −٢) اجمع عزمي القوتين بالعلاقة x·Fy − y·Fx حيث x وy مقيستان من تلك النقطة. ستحصل على المجموع نفسه (٤) في كل مرة.
Practice
1
الازدواج F = (٠, ٦) N عند A(٣, ٠) و−F عند B(−١, ٠) (بالمتر). أوجد عزمه (عكس عقارب الساعة موجب) وذراعه.
F₁ = (a, ٤) N عند A(٥, ٢) وF₂ = (−٦, b) N عند B(١, −١) تكوّنان ازدواجًا (بالمتر). أوجد a وb والعزم (عكس عقارب الساعة موجب).
F₂ = −F₁ يعطي a = ٦ وb = −٤. المتجه من B إلى A هو (٤, ٣) فيكون M = ٤ × ٤ − ٣ × ٦ = −٢ N·m (في اتجاه عقارب الساعة).
3
للازدواج في السؤال ١ أوجد مجموع عزمي القوتين حول النقطة P(١, ٥) (عكس عقارب الساعة موجب). ماذا تلاحظ؟
F عند A: المتجه من P هو (٢, −٥) والعزم ٢ × ٦ − (−٥) × ٠ = ١٢. −F = (٠, −٦) عند B: المتجه من P هو (−٢, −٥) والعزم (−٢)(−٦) − (−٥) × ٠ = ١٢. المجموع ٢٤ N·m وهو نفسه كما سبق: عزم الازدواج لا يعتمد على النقطة.
4
قوتان متساويتان ومتضادتان على خط عمل واحد. هل تكوّنان ازدواجًا؟ علّل.
لا. الذراع صفر فيكون M = F × ٠ = ٠: لا أثر دورانيًا لهما وتلغي إحداهما الأخرى (اتزان).
