1
المضلعات المنتظمة: قياس الزاوية ومحاور التماثل
Mathematics Prep 1 Term 1, Unit 4, Lessons 5–6
Goalأجد قياس زاوية المضلع المنتظم وأعدّ محاور تماثله.
New words
المضلع المنتظم · مضلع أضلاعه كلها متساوية وزواياه كلها متساويةالزاوية الداخلية · زاوية داخل المضلع عند أحد رؤوسهمحور التماثل · مستقيم يطوي الشكل فينطبق على نفسهضلع مشترك · ضلع ينتمي إلى شكلين معًا
Explanation
في المضلع المنتظم كل الزوايا متساوية فتكون كل زاوية داخلية مجموع الزوايا مقسومًا على n أي (n − ٢) × ١٨٠° ÷ n. فنحصل على ٦٠° للمثلث و٩٠° للمربع و١٠٨° للخماسي و١٢٠° للسداسي و١٣٥° للثماني. انتبه إلى قسمة المجموع كله على n وعدم التوقف عند المجموع. للمضلع المنتظم الذي له n ضلعًا عدد n من محاور التماثل. أما المضلع غير المنتظم فقد يكون له عدد أقل أو لا يكون له محور: المستطيل غير المربع له محوران ومتوازي الأضلاع غير المعين ليس له محور.
| المضلع المنتظم | عدد الأضلاع n | مجموع الزوايا | قياس الزاوية |
|---|---|---|---|
| مثلث متساوي الأضلاع | ٣ | ١٨٠° | ٦٠° |
| مربع | ٤ | ٣٦٠° | ٩٠° |
| خماسي | ٥ | ٥٤٠° | ١٠٨° |
| سداسي | ٦ | ٧٢٠° | ١٢٠° |
| ثماني | ٨ | ١٠٨٠° | ١٣٥° |
Worked examples
قياس كل زاوية. خماسي منتظم: مجموع الزوايا (٥ − ٢) × ١٨٠° = ٥٤٠°. فيه ٥ زوايا متساوية فقياس كل منها ٥٤٠° ÷ ٥ = ١٠٨°.
عدد الأضلاع. قياس كل زاوية في مضلع منتظم ١٤٠°. إذن (n − ٢) × ١٨٠ = ١٤٠n فيكون ١٨٠n − ٣٦٠ = ١٤٠n و٤٠n = ٣٦٠ وn = ٩. التحقق: (٩ − ٢) × ١٨٠ ÷ ٩ = ١٢٦٠ ÷ ٩ = ١٤٠.
محاور التماثل. للمربع ٤ محاور: محوران يمران بكل رأسين متقابلين ومحوران يمران بمنتصفي كل ضلعين متقابلين. وللمثلث المتساوي الأضلاع ٣ محاور وللسداسي المنتظم ٦ محاور.
مضلعان. سداسي منتظم ومربع يشتركان في الضلع PQ. عند Q قياس زاوية السداسي ١٢٠° وزاوية المربع ٩٠°. مجموع الزوايا حول نقطة ٣٦٠° فيكون x = ٣٦٠° − ١٢٠° − ٩٠° = ١٥٠°.
Class activity
اطوِ وعُدّ. مع أحد الكبار قص أشكالًا منتظمة من الورق (مثلث ومربع وسداسي) أو استخدم بلاطًا. اطوِ كلًّا منها ليطابق نفسه وعُدّ الطيّات المختلفة. هل تحصل على n طية لـ n ضلعًا؟
Practice
1
أوجد قياس كل زاوية في ثماني منتظم.
(٨ − ٢) × ١٨٠° = ١٠٨٠° و١٠٨٠° ÷ ٨ = ١٣٥°.
2
أوجد قياس كل زاوية في عشاري منتظم (١٠ أضلاع).
(١٠ − ٢) × ١٨٠° = ١٤٤٠° و١٤٤٠° ÷ ١٠ = ١٤٤°.
3
قياس كل زاوية في مضلع منتظم ١٥٠°. كم ضلعًا له؟
(n − ٢) × ١٨٠ = ١٥٠n فيكون ١٨٠n − ٣٦٠ = ١٥٠n و٣٠n = ٣٦٠ وn = ١٢.
4
كم محور تماثل للسباعي المنتظم (٧ أضلاع)؟ وللمستطيل غير المربع؟ وللمثلث المختلف الأضلاع؟
٧ محاور. محوران. لا يوجد.
5
يقول عادل إن كل زاوية في سداسي منتظم ٧٢٠°. ما الخطأ؟
٧٢٠° هو مجموع الزوايا الست كلها. وكل زاوية ٧٢٠° ÷ ٦ = ١٢٠°.