☰ Year plan · Mathematics (Arabic)

المضلعات المنتظمة والمستوى الإحداثي

Week 14 · Regular polygons and symmetry; the coordinate plane, projections and the midpoint · 3 lessons
1

المضلعات المنتظمة: قياس الزاوية ومحاور التماثل

Mathematics Prep 1 Term 1, Unit 4, Lessons 5–6
Goalأجد قياس زاوية المضلع المنتظم وأعدّ محاور تماثله.
New words
المضلع المنتظم · مضلع أضلاعه كلها متساوية وزواياه كلها متساويةالزاوية الداخلية · زاوية داخل المضلع عند أحد رؤوسهمحور التماثل · مستقيم يطوي الشكل فينطبق على نفسهضلع مشترك · ضلع ينتمي إلى شكلين معًا
Explanation

في المضلع المنتظم كل الزوايا متساوية فتكون كل زاوية داخلية مجموع الزوايا مقسومًا على n أي (n − ٢) × ١٨٠° ÷ n. فنحصل على ٦٠° للمثلث و٩٠° للمربع و١٠٨° للخماسي و١٢٠° للسداسي و١٣٥° للثماني. انتبه إلى قسمة المجموع كله على n وعدم التوقف عند المجموع. للمضلع المنتظم الذي له n ضلعًا عدد n من محاور التماثل. أما المضلع غير المنتظم فقد يكون له عدد أقل أو لا يكون له محور: المستطيل غير المربع له محوران ومتوازي الأضلاع غير المعين ليس له محور.

المضلع المنتظمعدد الأضلاع nمجموع الزواياقياس الزاوية
مثلث متساوي الأضلاع٣١٨٠°٦٠°
مربع٤٣٦٠°٩٠°
خماسي٥٥٤٠°١٠٨°
سداسي٦٧٢٠°١٢٠°
ثماني٨١٠٨٠°١٣٥°
Worked examples
١٠٨°ABCDE
قياس كل زاوية. خماسي منتظم: مجموع الزوايا (٥ − ٢) × ١٨٠° = ٥٤٠°. فيه ٥ زوايا متساوية فقياس كل منها ٥٤٠° ÷ ٥ = ١٠٨°.
عدد الأضلاع. قياس كل زاوية في مضلع منتظم ١٤٠°. إذن (n − ٢) × ١٨٠ = ١٤٠n فيكون ١٨٠n − ٣٦٠ = ١٤٠n و٤٠n = ٣٦٠ وn = ٩. التحقق: (٩ − ٢) × ١٨٠ ÷ ٩ = ١٢٦٠ ÷ ٩ = ١٤٠.
محاور التماثل. للمربع ٤ محاور: محوران يمران بكل رأسين متقابلين ومحوران يمران بمنتصفي كل ضلعين متقابلين. وللمثلث المتساوي الأضلاع ٣ محاور وللسداسي المنتظم ٦ محاور.
xPQRSTUVW
مضلعان. سداسي منتظم ومربع يشتركان في الضلع PQ. عند Q قياس زاوية السداسي ١٢٠° وزاوية المربع ٩٠°. مجموع الزوايا حول نقطة ٣٦٠° فيكون x = ٣٦٠° − ١٢٠° − ٩٠° = ١٥٠°.
Class activity

اطوِ وعُدّ. مع أحد الكبار قص أشكالًا منتظمة من الورق (مثلث ومربع وسداسي) أو استخدم بلاطًا. اطوِ كلًّا منها ليطابق نفسه وعُدّ الطيّات المختلفة. هل تحصل على n طية لـ n ضلعًا؟

Practice
1
أوجد قياس كل زاوية في ثماني منتظم.
2
أوجد قياس كل زاوية في عشاري منتظم (١٠ أضلاع).
3
قياس كل زاوية في مضلع منتظم ١٥٠°. كم ضلعًا له؟
4
كم محور تماثل للسباعي المنتظم (٧ أضلاع)؟ وللمستطيل غير المربع؟ وللمثلث المختلف الأضلاع؟
5
يقول عادل إن كل زاوية في سداسي منتظم ٧٢٠°. ما الخطأ؟