1
الزوايا مع المستقيمات المتوازية: إيجاد الزوايا وإثبات التوازي
Mathematics Prep 1 Term 1, Unit 4, Lessons 2–3
Goalأستخدم الزوايا المتساوية والمتكاملة لإيجاد الزوايا ولإثبات أن مستقيمين متوازيان.
New words
مستقيمان متوازيان · مستقيمان في مستوى واحد لا يتقاطعان أبدًاالعكس · العبارة معكوسة: إذا تساوت الزوايا فالمستقيمان متوازيانأثبت · أبيّن بالأسباب أن عبارة ما صحيحةالسبب · القاعدة التي تبيّن لماذا الخطوة صحيحة
Explanation
عندما يقطع قاطع مستقيمين متوازيين تصحّ ثلاث حقائق: الزاويتان المتناظرتان متساويتان، والزاويتان المتبادلتان متساويتان، والزاويتان الداخليتان في جهة واحدة من القاطع مجموعهما ١٨٠°. والعكس صحيح أيضًا: إذا كوّن القاطع زاويتين متناظرتين متساويتين، أو متبادلتين متساويتين، أو داخليتين في جهة واحدة من القاطع مجموعهما ١٨٠° فالمستقيمان متوازيان. في الشكل تشير الأسهم إلى التوازي ولا يظهر إلا قياسان: ٦٥° و١١٥° ومجموعهما ١٨٠°. اكتب في كل إجابة السبب مثل: زاويتان متناظرتان، مستقيمان متوازيان.
Worked examples
متناظرتان. المستقيمان متوازيان وإحدى الزوايا ٧٠°. الزاوية في الموضع نفسه عند التقاطع الآخر هي x. الزاويتان المتناظرتان متساويتان فيكون x = ٧٠°.
متبادلتان. المستقيمان متوازيان وإحدى الزوايا الداخلية ١٢٥°. الزاوية المتبادلة معها على الجانب الآخر من القاطع هي y. الزاويتان المتبادلتان متساويتان فيكون y = ١٢٥°.
داخليتان في جهة واحدة من القاطع. المستقيمان متوازيان وإحدى الزوايا الداخلية ١٠٥°. الزاوية الداخلية في جهة واحدة من القاطع هي z و١٠٥° + z = ١٨٠° فيكون z = ٧٥°.
مع معادلة. المستقيمان متوازيان والزاويتان المتناظرتان (٣x + ١٠)° و(٢x + ٤٠)°. هما متساويتان: ٣x + ١٠ = ٢x + ٤٠ فيكون x = ٣٠. قياس كل منهما ٣ × ٣٠ + ١٠ = ١٠٠°. التحقق: ٢ × ٣٠ + ٤٠ = ١٠٠.
إثبات التوازي. يكوّن قاطع زاويتين داخليتين في جهة واحدة من القاطع قياسهما ١٠٠° و٨٠°. مجموعهما ١٨٠° فالمستقيمان متوازيان. ولو كانتا ١٠٠° و٨٥° لدلّ المجموع ١٨٥° على أنهما غير متوازيين.
Class activity
مستقيمان متوازيان على الورق. مع أحد الكبار استخدم حافتي مسطرة لرسم مستقيمين متوازيين واقطعهما بمستقيم. قس الزوايا الثماني بالمنقلة وتحقق أنك تحصل على قياسين مختلفين فقط.
Practice
1
المستقيمان متوازيان والزاوية العليا اليمنى ٥٠°. أوجد الزاوية السفلى اليسرى x واذكر السبب.
الزاوية العليا اليمنى عند التقاطع السفلي ٥٠° (متناظرتان) وx تقابلها بالرأس فيكون x = ٥٠°.
2
المستقيمان متوازيان. أوجد y.
الزاويتان الداخليتان في جهة واحدة من القاطع مجموعهما ١٨٠°: y = ١٨٠° − ٧٠° = ١١٠°.
3
يكوّن قاطع زاويتين متبادلتين قياسهما ٧٢° و٧٢°. هل المستقيمان متوازيان؟ لماذا؟
نعم. تساوي الزاويتين المتبادلتين يدل على أن المستقيمين متوازيان.
4
المستقيمان متوازيان والزاويتان المتبادلتان (٢x + ١٥)° و(٣x − ٥)°. أوجد x والزاويتين.
٢x + ١٥ = ٣x − ٥ فيكون x = ٢٠. قياس كل زاوية ٢ × ٢٠ + ١٥ = ٥٥°.
5
تقول رنا: «في المستقيمين المتوازيين الزاويتان الداخليتان في جهة واحدة من القاطع متساويتان فإذا كانت إحداهما ٧٠° فالأخرى ٧٠°». ما الخطأ؟
الزاويتان الداخليتان في جهة واحدة من القاطع مجموعهما ١٨٠° فتكون الأخرى ١١٠°. أما المتساويتان فهما المتبادلتان.