الحد الأوسط ومجموع المعاملات والحد المشتمل على قوة معينة من x
Week 2 · The middle term or terms of an expansion, mixed problems of Lesson 1, and finding the term that contains a given power of x · 3 lessons
2
ربط ما سبق: مجموع المعاملات والحدود المتساوية وشروط على الحدين الأوسطين
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lessons 1–2
Goalأستعمل x = ١ وx = −١ والحدود المتساوية والشروط على الحدين الأوسطين في حل مسائل المفكوك.
New words
مجموع المعاملات · يُوجد بوضع x = ١ (كل الحروف تُستبدل بـ ١)الحدّان المتساويان · حدّان خارج قسمتهما ١؛ وللحدّين الأوسطين في (px + qy)ⁿ مع n فردي يعني px = qy
Explanation
يربط هذا الدرس الدرسين السابقين. أولًا مجموع المعاملات. المعامل هو ما يبقى من الحد إذا استبدلنا كل حرف بـ ١، فوضع x = ١ يجمعها كلها. في (٢x² + ١/x)⁵ المجموع (٢ + ١)⁵ = ٢٤٣. ووضع x = −١ يعطي المجموع المتناوب: المعاملات بعد قلب إشارات المواضع الفردية. وفي (١ + x)ⁿ يعطي x = ١ أن nC٠ + nC١ + nC٢ + … = ٢ⁿ، ويعطي x = −١ أن nC٠ − nC١ + nC٢ − … = ٠ (عندما n ≥ ١). وبجمع النتيجتين ثم القسمة على ٢، وبطرحهما ثم القسمة على ٢، نجد nC٠ + nC٢ + nC٤ + … = nC١ + nC٣ + nC٥ + … = ٢ⁿ⁻¹. ثانيًا الحدود المتساوية. يتساوى حدّان متجاوران إذا كان خارج قسمتهما T(r+٢)/T(r+١) يساوي ١. وللحدّين الأوسطين في (px + qy)ⁿ مع n فردي يتساوى العددان nCr فيهما، فيتساوى الحدّان تمامًا عندما px = qy. ثالثًا شرط على حد أوسط: اكتب الحد الأوسط وساوِه بالعدد المعطى ثم حلّ لإيجاد المجهول.
التعويض
قيمة (2x + 1)³
ما يُجمع
x = 1
27
8 + 12 + 6 + 1
x = −1
−1
−8 + 12 − 6 + 1
Worked examples
خذ (٢x² + ١/x)⁵. مجموع معاملاتها (٢ × ١² + ١/١)⁵ = ٣⁵ = ٢٤٣. وعند x = −١ القيمة (٢ − ١)⁵ = ١ وهي المجموع المتناوب.
(أ) الحدّان الأوسطان في (٢x + ٥y)⁹ متساويان. أوجد x/y. هما T٥ وT٦ وفيهما ٩C٤ = ٩C٥ نفسه، فيكون (٢x)⁵(٥y)⁴ = (٢x)⁴(٥y)⁵. نقسم على (٢x)⁴(٥y)⁴ فنجد ٢x = ٥y أي x/y = ٥/٢. (ب) الحد الأوسط في (x + k/x)⁶ يساوي −١٦٠. أوجد k. T٤ = ٦C٣ k³ = ٢٠k³ = −١٦٠ إذن k³ = −٨ وk = −٢.
Class activity
التعويض. فكّ (٢x + ١)³ بنفسك ثم تحقّق من أن وضع x = ١ وx = −١ يعطي الأعداد نفسها التي نحصل عليها بجمع المعاملات، مرة بلا تناوب ومرة بإشارات متناوبة.
Practice
1
أوجد مجموع معاملات (x − ٤)⁵.
نضع x = ١: (١ − ٤)⁵ = (−٣)⁵ = −٢٤٣.
2
مجموع معاملات (١ + ٢x)ⁿ يساوي ٦٥٦١. أوجد n.
