مراجعة: المتجهات في الفراغ والمستقيمات والمستويات
تبدأ الأسابيع من الثامن إلى الرابع عشر بالنقط والمتجهات وتنتهي بالمستقيمات والمستويات، وتعود الأفكار القليلة نفسها. المتجهات: الطول ومتجه الوحدة A/‖A‖ وجيوب تمام الاتجاه. الضرب القياسي A · B يعطي الزوايا واختبار التعامد؛ والضرب الاتجاهي A × B يعطي متجهًا عموديًا على كل منهما والمساحات، وإذا كان صفرًا فالمتجهان متوازيان؛ والضرب الثلاثي القياسي يعطي الحجوم والمتجهات التي في مستوى واحد. والمستقيم نقطة ومتجه اتجاه، والمستوى نقطة ومتجه عمودي. ولمستقيمين استعمل قانون الزاوية مع اتجاهيهما ثم ساوِ الإحداثيات بوسيطين مختلفين لتحكم بالتقاطع أو التخالف. وللمستوى أوجد متجهًا عموديًا: معطًى مباشرة أو من AB × AC أو من d₁ × d₂. والأبعاد تستعمل العمود: من نقطة إلى مستقيم بقدم العمود أو ‖AB × d‖/‖d‖، ومن نقطة إلى مستوى بـ |ax₁ + by₁ + cz₁ + d|/√(a² + b² + c²). ويقطع المستقيم مستويًا بعد تعويض نقطته العامة في المعادلة؛ ويتقاطع مستويان في مستقيم اتجاهه n₁ × n₂. وتحقق دائمًا من الإجابة في المعطيات الأصلية.
| المطلوب | الأداة |
|---|---|
| الطول ومتجه الوحدة وجيوب تمام الاتجاه | ‖A‖ = √(x² + y² + z²)؛ A/‖A‖ = (ℓ, m, n)؛ ℓ² + m² + n² = ١ |
| الزاوية بين متجهين؛ التعامد | cos θ = A · B/(‖A‖‖B‖)؛ A · B = ٠ |
| متجه عمودي على متجهين؛ المساحات | A × B (محدد ٣ × ٣)؛ مساحة المثلث ½‖A × B‖ |
| الحجم؛ متجهات في مستوى واحد | |A · (B × C)|؛ A · (B × C) = ٠ |
| مستقيم | r = A + t d؛ x = x₁ + at …؛ (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c |
| مستقيمان | cos θ = |d₁ · d₂|/(‖d₁‖‖d₂‖)؛ ساوِ الإحداثيات بوسيطين s, t: تقاطع أو تخالف |
| مستوى | n · r = n · A؛ ax + by + cz + d = ٠؛ n = AB × AC أو d₁ × d₂ |
| الأبعاد | نقطة–مستقيم: ‖AB × d‖/‖d‖؛ نقطة–مستوى: |ax₁ + by₁ + cz₁ + d|/√(a² + b² + c²) |
| تقاطع المستقيمات والمستويات | مستقيم–مستوى: (n · d)t = k − n · A؛ مستويان: d = n₁ × n₂؛ الزاوية بين مستويين من n₁ · n₂ |
خطة لسلسلة أسئلة. اختر المعطى «ثلاث نقط A, B, C». اذكر خمسة أسئلة مختلفة يمكن طرحها عنها، لكل منها أداتها، من هذه الوحدة (الزاوية والمساحة والمستوى وبعد نقطة الأصل عن المستوى ومستقيم يمر بنقطتين). وحل واحدًا منها بأعداد من اختيارك.