السعة الأساسية · سعة z التي تقع في ]−π, π]نظرية ديموافر · (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθالجذور التكعيبية للواحد · ١, ω, ω² مع ١ + ω + ω² = ٠ وω³ = ١
Explanation
تقوم الأسابيع من الرابع إلى السابع على صورة واحدة: العدد المركب x + yi هو النقطة (x, y) ولها بعد |z| = r وزاوية θ. أوجد r أولًا ثم الزاوية المرجعية α والربع لتحصل على السعة الأساسية، واكتب z = r(cos θ + i sin θ) أو z = re^(iθ). وفي هذه الصورة يضرب الضرب المقياسين ويجمع السعتين، وتقسم القسمة وتطرح، والقوة zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) هي نظرية ديموافر. يجب إرجاع كل سعة إلى ]−π, π] بإضافة ٢π أو طرحها. الجذور: للمعادلة Zⁿ = a عدد n من الجذور مقياس كل منها r^(١/n) وسعاتها (θ + ٣٦٠°k)/n؛ وهي على مستوى أرجاند رءوس مضلع منتظم عدد أضلاعه n. ويُوجد الجذر التربيعي بالصورة x + yi من x² − y² = a و٢xy = b وx² + y² = |a + bi|. والجذور التكعيبية للواحد ١, ω, ω²، ويساعد ω على تبسيط العبارات الطويلة: اختزل القوى بـ ω³ = ١ واستبدل ١ + ω + ω² بـ ٠. وفي النهاية تحقق من قيمة واحدة في المعادلة الأصلية.
المطلوب
الأداة
المقياس والسعة الأساسية
|z| = √(x² + y²)؛ الزاوية المرجعية α = tan⁻¹(|y|/|x|) ثم الربع: α أو π − α أو α − π أو −α
الصورة المثلثية
z = r(cos θ + i sin θ) حيث r > ٠ وθ في ]−π, π]
الضرب والقسمة
يُضرب المقياسان أو يُقسمان وتُجمع السعتان أو تُطرحان (ثم تُرجع إلى المجال الأساسي)
القوة والصورة الأسية
zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)؛ z = re^(iθ)
جذور المعادلة Zⁿ = a
Z = r^(١/n)(cos((θ + ٣٦٠°k)/n) + i sin((θ + ٣٦٠°k)/n)) حيث k = ٠ … n − ١
دوّر بالضرب. مثّل z = ٢ + i. اضربه في i ومثّل الناتج، ثم اضرب في i مرة أخرى. ما الشكل الذي تكونه النقط الأربع z, iz, i²z, i³z ولماذا؟ (مربع: كل ضرب يدير النقطة ربع دورة.)
Practice
1
اكتب −٣√٣ − ٣i بالصورة المثلثية.
|z| = √(٢٧ + ٩) = ٦. الزاوية المرجعية tan⁻¹(٣/(٣√٣)) = π/٦ والنقطة في الربع الثالث فتكون θ = π/٦ − π = −٥π/٦. z = ٦(cos(−٥π/٦) + i sin(−٥π/٦)).
2
ليكن z = ٢(cos ٤٠° + i sin ٤٠°) وw = ٣(cos ٨٠° + i sin ٨٠°). أوجد zw وz/w.
zw = ٦(cos ١٢٠° + i sin ١٢٠°) = −٣ + ٣√٣ i. وz/w = (٢/٣)(cos(−٤٠°) + i sin(−٤٠°)).
3
أوجد (١ + √٣ i)⁶.
|١ + √٣ i| = ٢ وθ = π/٣ فالقوة ٢⁶(cos ٢π + i sin ٢π) = ٦٤.
4
حل Z³ = ٨i واكتب الجذور بالصورة x + yi.
٨i = ٨(cos ٩٠° + i sin ٩٠°) فيكون Z = ٢(cos((٩٠° + ٣٦٠°k)/٣) + i sin(…)): السعات ٣٠° و١٥٠° و٢٧٠°. الجذور √٣ + i و−√٣ + i و−٢i.
