مراجعة الفصل الدراسي الأول: ذات الحدين والأعداد المركبة والمتجهات والمستقيمات والمستويات
Answers are for parents and teachers.
1
أوجد معامل x⁵ في (x² − ٢/x)⁷ وبيّن أن x⁶ لا يوجد في المفكوك.
الأس ٢(٧ − r) − r = ١٤ − ٣r. للأس ٥: r = ٣ والمعامل ٧C٣ × (−٢)³ = ٣٥ × (−٨) = −٢٨٠. وللأس ٦: ١٤ − ٣r = ٦ يعطي r = ٨/٣ وليس عددًا صحيحًا فلا يوجد حد فيه x⁶.
2
اكتب z = −√٢ + √٢ i بالصورة المثلثية وأوجد z⁶.
|z| = ٢ والسعة ٣π/٤ فيكون z = ٢(cos ٣π/٤ + i sin ٣π/٤). z⁶ = ٦٤(cos ٩π/٢ + i sin ٩π/٢) = ٦٤(cos π/٢ + i sin π/٢) = ٦٤i.
3
حل Z³ = −٢٧ وبيّن الشكل الذي تكونه الجذور الثلاثة على مستوى أرجاند.
−٢٧ = ٢٧(cos ١٨٠° + i sin ١٨٠°) فيكون Z = ٣(cos((١٨٠° + ٣٦٠°k)/٣) + i sin(…)): السعات ٦٠° و١٨٠° و٣٠٠°. الجذور ٣/٢ + (٣√٣/٢)i و−٣ و٣/٢ − (٣√٣/٢)i. وهي رءوس مثلث متساوي الأضلاع على الدائرة التي نصف قطرها ٣.
4
للنقط A(٢, ١, −١) وB(٤, ٣, ٠) وC(١, ٢, ٢) أوجد الزاوية عند A ومساحة المثلث ABC ومعادلة مستواه.
AB = (٢, ٢, ١) وAC = (−١, ١, ٣). AB · AC = ٣ والطولان ٣ و√١١ فيكون cos A = ٣/(٣√١١) = ١/√١١ وA ≈ ٧٢٫٥°. AB × AC = (٥, −٧, ٤) وطوله √٩٠ = ٣√١٠ فالمساحة ٣√١٠/٢ ≈ ٤٫٧٤. المستوى ٥x − ٧y + ٤z = ١٠ − ٧ − ٤ = −١ أي ٥x − ٧y + ٤z + ١ = ٠ (التحقق من B: ٢٠ − ٢١ + ٠ = −١ ومن C: ٥ − ١٤ + ٨ = −١).
5
أوجد نقطة تقاطع المستقيم r = (٠, ١, ١) + t(١, ٢, ٢) مع المستوى ٢x + ٢y − z = ٩، والبعد بين هذا المستوى والمستوى ٢x + ٢y − z = −٣.
النقطة (t, ١ + ٢t, ١ + ٢t): ٢t + ٢ + ٤t − ١ − ٢t = ٤t + ١ = ٩ فيكون t = ٢ والنقطة (٢, ٥, ٥). التحقق: ٤ + ١٠ − ٥ = ٩. والبعد بين المستويين |٩ − (−٣)|/٣ = ٤.