نظرية ذات الحدين: المفكوك والحد العام ومجموع مفكوكين
Week 1 · The binomial theorem: Pascal’s triangle and combinations, the expansion of (x + a)^n, the general term, the term counted from the end, sums and differences of two expansions · 3 lessons
3
مجموع مفكوكين وفرقهما، وإيجاد المجاهيل من معاملات حدود معلومة أو من النسبة بين حدين
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1
Goalأجمع مفكوكين وأطرح أحدهما من الآخر، وأتعرّف مفكوكًا مقنّعًا، وأوجد مجاهيل من معاملات معطاة.
مفكوكا (x + a)ⁿ و(x − a)ⁿ يختلفان في الإشارات فقط. الحدود ذات r الزوجي (T١, T٣, T٥, …) متساوية في المفكوكين، والحدود ذات r الفردي (T٢, T٤, …) تتغير إشارتها. لذلك يلغي الجمع الحدود ذات r الفردي ويضاعف الباقي: (x + a)ⁿ + (x − a)ⁿ = ٢(T١ + T٣ + T٥ + …). ويفعل الطرح العكس: (x + a)ⁿ − (x − a)ⁿ = ٢(T٢ + T٤ + …) حيث T حدود مفكوك (x + a)ⁿ. يبيّن الجدول ذلك عندما n = ٥. وأحيانًا يكون مجموع طويل مفكوكًا واحدًا مقنّعًا. فإذا كان المجموع Aⁿ + nC١ Aⁿ⁻¹B + nC٢ Aⁿ⁻²B² + … + Bⁿ فهو (A + B)ⁿ، وإذا تبادلت الإشارات فهو (A − B)ⁿ. نجد A وB من القوى التي تتناقص في قوس وتتزايد في الآخر. وأخيرًا إذا أعطى السؤال معاملًا أو نسبة بين معاملين فحوّل كلًّا منهما إلى معادلة فيها nCr. معلومتان تعطيان مجهولين، وقسمة معادلة على أخرى تحذف غالبًا ما لا نحتاجه.
