نظرية ذات الحدين: المفكوك والحد العام ومجموع مفكوكين
Week 1 · The binomial theorem: Pascal’s triangle and combinations, the expansion of (x + a)^n, the general term, the term counted from the end, sums and differences of two expansions · 3 lessons
2
الحد العام في المفكوك، والحد المعدود من النهاية
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1
Goalأكتب أي حد في مفكوك ذات الحدين، وكذلك الحد المعدود من النهاية.
New words
الحد العام · T(r+١) = nCr · xⁿ⁻ʳ · aʳ وهو الحد الذي رتبته r + ١الحد من النهاية · الحد ذو الرتبة k من النهاية هو الحد ذو الرتبة n + ٢ − k من البداية
Explanation
اكتب مفكوك (x + a)ⁿ على شكل T١, T٢, T٣, …. الحد الذي رتبته r + ١ يستعمل nCr فالحد العام هو T(r+١) = nCr · xⁿ⁻ʳ · aʳ. الرقم السفلي في nCr دائمًا أقل بواحد من رتبة الحد: الحد الثالث فيه r = ٢ والعاشر فيه r = ٩. وإذا كان a كسرًا أو يحوي x فأبقِه بين قوسين مثل (٣/x)ʳ ثم بسّط بعد ذلك. وفي (x − a)ⁿ تكون الإشارة هي إشارة (−a)ʳ فالحدود التي فيها r فردي سالبة. ولإيجاد الحد ذي الرتبة k من النهاية نعدّ: في المفكوك n + ١ حدًّا، فالأخير هو رقم n + ١ من البداية، والثاني من النهاية رقم n، وعمومًا الحد ذو الرتبة k من النهاية هو رقم n + ٢ − k من البداية. وطريقة أخرى أن نكتب المفكوك معكوسًا: الحد ذو الرتبة k من نهاية (x + a)ⁿ هو الحد ذو الرتبة k من بداية (a + x)ⁿ. وانتبه لما يطلبه السؤال: ‘الحد’ يشمل قوة x، و‘المعامل’ هو العدد المضروب فقط، و‘قوة x’ هي الأس وحده.
الحد
r
5Cr
قوة x
قوة a
T1
0
1
5
0
T2
1
5
4
1
T3
2
10
3
2
T4
3
10
2
3
T5
4
5
1
4
T6
5
1
0
5
Worked examples
أوجد الحد الرابع في (٢x + ١/x)⁹. هنا r = ٣: T٤ = ٩C٣ (٢x)⁶ (١/x)³ = ٨٤ × ٦٤x⁶ × x⁻³ = ٥٣٧٦x³. المعامل ٥٣٧٦ وقوة x تساوي ٣.
أوجد الحد الثالث من النهاية في (x + ٣)⁸. في المفكوك ٩ حدود، فالثالث من النهاية رقمه ٨ + ٢ − ٣ = ٧ من البداية: T٧ = ٨C٦ x² ٣⁶ = ٢٨ × ٧٢٩x² = ٢٠٤١٢x².
أوجد الحد الخامس من النهاية في (٢x − ١/x²)¹⁰. في المفكوك ١١ حدًّا، فرقمه من البداية ١٠ + ٢ − ٥ = ٧ وr = ٦: T٧ = ١٠C٦ (٢x)⁴ (−١/x²)⁶ = ٢١٠ × ١٦x⁴ × x⁻¹² = ٣٣٦٠x⁻⁸. الإشارة موجبة لأن (−١)⁶ = ١.
Class activity
العدّ من الطرفين. ارسم ٨ مربعات للحدود T١ إلى T٨ في مفكوك (x + a)⁷. علّم الحد الثالث من البداية والثالث من النهاية، وقل ما رقم كل منهما من البداية.
