☰ خطة العام · الرياضيات (بالعربية)

التمدد

الأسبوع 9 · Dilation: centre and factor, enlargement and reduction, images of triangles and of points in the coordinate plane · 3 دروس
1

التمدد بمركز ومعامل موجب k: التكبير والتصغير

Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 3
Goalأجد صورة نقطة بالتمدد، وأفرّق بين التكبير والتصغير، وأجد ⁦k⁩ من طولين.
New words
التمدد · تحويل يكبّر الشكل أو يصغّره من مركز ثابتمركز التمدد · النقطة الثابتة ⁦C⁩ وصورتها نفسهامعامل التمدد ⁦k⁩ · بُعد الصورة عن المركز ÷ بُعد الأصل عن المركزالصورة · النقطة أو الشكل بعد التمدد؛ ⁦P′⁩ صورة ⁦P⁩
Explanation

يحتاج التمدد إلى مركز ⁦C⁩ وعدد موجب ⁦k⁩. صورة النقطة ⁦P⁩ هي النقطة ⁦P′⁩ على الشعاع ⁦CP⁩ حيث ⁦CP′ = k × CP⁩. ويبقى المركز في مكانه. إذا كان ⁦k > ١‎⁩ فالشكل يُكبَّر، وإذا كان ⁦٠‎ < k < ١‎⁩ فيُصغَّر، وإذا كان ⁦k = ١‎⁩ فلا شيء يتغير. إذن ⁦k = CP′ ÷ CP⁩ وكذلك ⁦k = A′B′ ÷ AB⁩ لأي قطعة وصورتها. والصورة تشبه الأصل: الزوايا لا تتغير، وكل ضلع في الصورة يساوي ⁦k⁩ مرة الضلع الأصلي، ويوازي كل ضلع في الصورة ضلعه الأصلي. نقيس المسافات من المركز، لا بين ⁦P⁩ و⁦P′⁩. وإذا أُعطي المعامل كنسبة مئوية كتبناه عددًا: ⁦١٢٠‎%⁩ هي ⁦١٫٢‎⁩ (تكبير) و⁦٥٠‎%⁩ هي ⁦٠٫٥‎⁩ (تصغير).

OABCA′B′C′
Worked examples
في الشكل ⁦O⁩ هي المركز و⁦k = ٢‎⁩. النقطة ⁦A(٢‎, ١‎)⁩ تذهب إلى ⁦A′(٤‎, ٢‎)⁩ و⁦B(٤‎, ١‎)⁩ إلى ⁦B′(٨‎, ٢‎)⁩ و⁦C(٣‎, ٣‎)⁩ إلى ⁦C′(٦‎, ٦‎)⁩. تحقق أن الصور على الأشعة: ⁦A′⁩ تبعد عن ⁦O⁩ ضعف ما تبعده ⁦A⁩ (النقطة ⁦(٤‎, ٢‎)⁩ ضعف ⁦(٢‎, ١‎)⁩). قارن الأضلاع: ⁦AB = ٢‎⁩ و⁦A′B′ = ٤‎ = ٢‎ × ٢‎⁩. و⁦AB⁩ و⁦A′B′⁩ أفقيتان فهما متوازيتان.
أوجد الصور: (أ) ⁦OP = ٦‎⁩ سم و⁦k = ٣‎⁩؛ (ب) ⁦OQ = ١٠‎⁩ سم و⁦k = ٢‎/٥‎⁩. (أ) ⁦OP′ = ٣‎ × ٦‎ = ١٨‎⁩ سم: تكبير. (ب) ⁦OQ′ = ٢‎/٥‎ × ١٠‎ = ٤‎⁩ سم: تصغير لأن ⁦٠‎ < ٢‎/٥‎ < ١‎⁩.
نقطة تبعد ٦ سم عن المركز وصورتها تبعد ٩ سم عنه. أوجد ⁦k⁩ والمعامل الذي يلغي التمدد. ⁦k = ٩‎ ÷ ٦‎ = ٣‎/٢‎⁩ (تكبير). وللعودة من الصورة إلى الأصل نحتاج ⁦٦‎ ÷ ٩‎ = ٢‎/٣‎⁩ وهي ⁦١‎ ÷ k⁩.
Class activity

الظل على الحائط. في غرفة مظلمة سلّط مصباحًا (المركز) على شكل ورقي مقصوص ليسقط ظله على الحائط. حرّك المصباح وقِس: بعد المصباح عن الشكل وعن الحائط، وأحجام الشكل وظله. هل الظل تمدد للشكل؟ وكم ⁦k⁩؟

Practice
1
⁦k = ٤‎⁩ و⁦OP = ٣‎⁩ سم. أوجد ⁦OP′⁩.
2
⁦k = ١‎/٣‎⁩ و⁦OP = ١٢‎⁩ سم. أوجد ⁦OP′⁩. هل هو تكبير أم تصغير؟
3
⁦OP = ٥‎⁩ سم و⁦OP′ = ٢٠‎⁩ سم. أوجد ⁦k⁩.
4
القطعة ⁦AB = ٦‎⁩ سم تمددت بمعامل ⁦k = ٠٫٥‎⁩. أوجد ⁦A′B′⁩ وبيّن وضعها بالنسبة لـ⁦AB⁩.
5
أي المعاملات تعطي تكبيرًا: ⁦٠٫٨‎⁩ و⁦١‎⁩ و⁦١٫٢٥‎⁩ و⁦١٥٠‎%⁩ و⁦٤٠‎%⁩؟