1
جمع الكسور الجبرية النسبية وطرحها: التحليل والمقام المشترك وأبسط صورة
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 5
Goalأجمع الكسور الجبرية النسبية وأطرحها، وأكتب المجال أولًا، وأعطي الناتج في أبسط صورة.
New words
المقام المشترك · مقام يمكن تحويل كل كسر في العملية إليهالعامل الناقص · عامل في المقام المشترك ليس في مقام الكسر بعدمجال المجموع · كل الأعداد الحقيقية عدا أصفار جميع المقاماتأبسط صورة · لم يبقَ عامل مشترك بين البسط والمقام
Explanation
جمع الكسور الجبرية يشبه جمع الكسور العادية. (١) نحلل كل مقام ونجد المجال: نستبعد أصفار كل المقامات. (٢) نبسّط كل كسر إن أمكن. (٣) نجد مقامًا مشتركًا يحوي عوامل كل مقام مرة واحدة (أو بقدر الحاجة). (٤) نضرب بسط كل كسر في العامل الذي ينقص مقامه. (٥) نجمع البسطين أو نطرحهما فوق المقام المشترك؛ وعند الطرح نضع البسط الثاني كله بين قوسين لتتغير الإشارة في كل حدوده. (٦) نحلل البسط الجديد ونحذف. لا نجمع المقامين أبدًا: ١/a + ١/b لا تساوي ٢/(a + b). ومجال الناتج هو المجال الذي وجدناه في الخطوة الأولى حتى لو حُذف عامل في النهاية.
| الخطوة | العمل في ٢x ÷ (x² − ١) − ١ ÷ (x − ١) |
|---|---|
| ١ التحليل والمجال | (x − ١)(x + ١); R − {١, −١} |
| ٢ المقام المشترك | (x − ١)(x + ١) |
| ٣ العامل الناقص | (x + ١) |
| ٤ نجمع | [٢x − (x + ١)] ÷ ((x − ١)(x + ١)) |
| ٥ أبسط صورة | ١ ÷ (x + ١) |
Worked examples
اجمع x ÷ (x − ٢) + ٣ ÷ (x + ٢). المجال R − {٢, −٢}. المقام المشترك (x − ٢)(x + ٢). نضرب بسط الأول في (x + ٢) وبسط الثاني في (x − ٢): [x(x + ٢) + ٣(x − ٢)] ÷ (x² − ٤) = (x² + ٢x + ٣x − ٦) ÷ (x² − ٤) = (x² + ٥x − ٦) ÷ (x² − ٤) = (x + ٦)(x − ١) ÷ (x² − ٤). لا يوجد عامل يُحذف. تحقق عند x = ٣: ٣ ÷ ١ + ٣ ÷ ٥ = ١٨/٥ و(٩ + ١٥ − ٦) ÷ ٥ = ١٨/٥ ✓
اجمع (x − ٣) ÷ (x² − ٩) + ٢ ÷ (x + ٣). المجال: x² − ٩ = (x − ٣)(x + ٣) فـR − {٣, −٣}. نبسّط الكسر الأول: ١ ÷ (x + ٣). صار المقامان متساويين: ١ ÷ (x + ٣) + ٢ ÷ (x + ٣) = ٣ ÷ (x + ٣). تحقق عند x = ١: (−٢) ÷ (−٨) + ٢ ÷ ٤ = ١/٤ + ١/٢ = ٣/٤ و٣ ÷ ٤ = ٣/٤ ✓
اطرح ٢x ÷ (x² − ١) − ١ ÷ (x − ١). المجال R − {١, −١}. ينقص الكسر الثاني (x + ١): [٢x − (x + ١)] ÷ ((x − ١)(x + ١)) = (٢x − x − ١) ÷ ((x − ١)(x + ١)) = (x − ١) ÷ ((x − ١)(x + ١)) = ١ ÷ (x + ١). ويبقى المجال R − {١, −١}. تحقق عند x = ٢: ٤/٣ − ١ = ١/٣ ✓
Class activity
فحص الأقواس. اطرح ٣ ÷ (x + ١) − (x + ٤) ÷ (x + ١) مرتين: مرة مع الأقواس ومرة بنسيانها. أي الإجابتين صحيحة عند x = ١؟ اختبر بالأعداد.
Practice
1
اجمع ٣ ÷ x + ٢ ÷ (x + ١) واذكر المجال.
(٣(x + ١) + ٢x) ÷ (x(x + ١)) = (٥x + ٣) ÷ (x(x + ١)). المجال R − {٠, −١}.
2
اطرح ٥ ÷ (x − ٢) − ٣ ÷ (x − ٢).
٢ ÷ (x − ٢) والمجال R − {٢}.
3
اطرح x ÷ (x − ٣) − ٢ ÷ (x + ٣).
(x(x + ٣) − ٢(x − ٣)) ÷ (x² − ٩) = (x² + x + ٦) ÷ (x² − ٩). المجال R − {٣, −٣}.
4
اجمع (x² − ٤) ÷ (x² + ٤x + ٤) + ١ ÷ (x + ٢).
الكسر الأول (x − ٢) ÷ (x + ٢). المجموع: (x − ٢ + ١) ÷ (x + ٢) = (x − ١) ÷ (x + ٢). المجال R − {−٢}.
5
اطرح ١ ÷ (x − ١) − ١ ÷ x.
(x − (x − ١)) ÷ (x(x − ١)) = ١ ÷ (x(x − ١)). المجال R − {٠, ١}.