1
مراجعة: القوى والمعادلات الأسية والدالة التربيعية والأصفار
Mathematics Prep 3 Term 1, Units 1–4, Review
Goalأخلط أفكار الوحدتين ١ و٢: القوى والمعادلات الأسية والقطع المكافئ والأصفار.
New words
الأساس نفسه · نكتب الطرفين بأساس واحد ثم نقارن الأسسالرأس · نقطة انعطاف القطع المكافئ عند x = −b/٢aصفر الدالة · قيمة x التي تجعل f(x) = ٠حلّل · اكتب العبارة على صورة حاصل ضرب
Explanation
خريطة سريعة للوحدتين ١ و٢. القوى: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ وaᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ و(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ وa⁻ⁿ = ١/aⁿ. المعادلة الأسية: نوحّد الأساس فتتساوى الأسس: ٣ˣ⁺¹ = ٨١ = ٣⁴ تعطي x + ١ = ٤ وx = ٣. الدالة التربيعية f(x) = ax² + bx + c: الرأس عند x = −b/٢a ومحور التماثل يمر به، والمقطع الصادي c، ولها قيمة صغرى إذا كانت a > ٠ (وعظمى إذا a < ٠). الأصفار: نحل f(x) = ٠ بالتحليل: x² − ٤x − ٥ = (x − ٥)(x + ١) فالصفران ٥ و−١. الشكل يبيّن هذا القطع: الرأس (٢, −٩) فالقيمة الصغرى −٩.
Worked examples
بسّط (٢³ × ٢⁵) ÷ ٢⁶ = ٢³⁺⁵⁻⁶ = ٢² = ٤.
حل ٥²ˣ⁻¹ = ١٢٥. ١٢٥ = ٥³ فـ٢x − ١ = ٣ وx = ٢. تحقق: ٥³ = ١٢٥ ✓.
p(x) = x³ − ٤x = x(x − ٢)(x + ٢) فالأصفار ٠ و٢ و−٢.
Class activity
فحص سريع للقطع. اكتب دالة تربيعية أصفارها ١ و٣. أوجد رأسها بالتماثل (في منتصف الصفرين) وقيمتها الصغرى.
Practice
1
حل ٤ˣ = ١/١٦.
١/١٦ = ٤⁻² فـx = −٢.
2
أوجد الرأس والقيمة الصغرى لـf(x) = x² − ٦x + ٥.
x = ٣ وf(٣) = −٤: الرأس (٣, −٤) والصغرى −٤.
3
أوجد أصفار x² − x − ٦.
(x − ٣)(x + ٢) = ٠: ٣ و−٢.
4
x = ٥ صفر لـx² + kx − ١٠. أوجد k.
٢٥ + ٥k − ١٠ = ٠ فـk = −٣.
5
حل ٢ᵗ = ٣٢.
٣٢ = ٢⁵ فـt = ٥.