3
التمدد في المستوى الإحداثي حول نقطة الأصل: (x, y) ← (kx, ky)
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 3
Goalأجد صورة نقطة أو شكل بتمدد مركزه نقطة الأصل، وأعكس التمدد، وأرى كيف تتغير المساحات.
New words
نقطة الأصل · النقطة (٠, ٠) حيث يتقاطع المحورانالإحداثيات · الزوج (x, y) الذي يحدد موضع النقطةالقاعدة (x, y) ← (kx, ky) · يُضرب كل إحداثي في kعكس التمدد · تطبيق المعامل ١ ÷ k للرجوع إلى الأصل
Explanation
عندما يكون المركز نقطة الأصل (٠, ٠) تكون قاعدة التمدد بمعامل k بسيطة جدًا: (x, y) ← (kx, ky). أي يُضرب كل إحداثي في k. تحقق: النقطة (kx, ky) على الشعاع الخارج من نقطة الأصل مارًّا بالنقطة (x, y)، وبعدها عن نقطة الأصل k مرة بعد الأولى. ولإيجاد صورة مضلع نغيّر كل رأس ونصل الصور. ولعكس تمدد معامله k نطبق المعامل ١ ÷ k. ولأن كل طول يُضرب في k فإن مساحة الشكل تُضرب في k × k = k². فمثلًا مستطيل مساحته ٦ تمدد بمعامل k = ٤ تصبح مساحته ١٦ × ٦ = ٩٦.
Worked examples
أوجد صورة △PQR حيث P(−٢, ٤) وQ(٦, ٢) وR(٠, −٣) بتمدد مركزه نقطة الأصل وk = ١/٢. نضرب كل إحداثي في ١/٢: P′(−١, ٢) وQ′(٣, ١) وR′(٠, −١٫٥). يبيّن الشكل المثلث الأصلي وصورته بنصف الحجم، لهما الشكل نفسه وأضلاع متوازية.
النقطة P′(٦, ٩) صورة P بتمدد حول نقطة الأصل معامله k = ٣. أوجد P. نعكس بـ١ ÷ ٣: P = (٦ ÷ ٣, ٩ ÷ ٣) = (٢, ٣). تحقق: ٣ × (٢, ٣) = (٦, ٩) ✓
المثلث الذي رءوسه (١, ١) و(٣, ١) و(٢, ٣) تمدد حول نقطة الأصل بمعامل k = ٣. أوجد الصورة وقارن المساحتين. تصبح الرءوس (٣, ٣) و(٩, ٣) و(٦, ٩). مساحة الأصل ١/٢ × ٢ × ٢ = ٢. ومساحة الصورة ١/٢ × ٦ × ٦ = ١٨ = ٩ × ٢ = ٣² × ٢.
Class activity
تكبير على المربعات. على ورق مربعات عيّن شكل بيت صغيرًا (مربع وفوقه مثلث) قرب نقطة الأصل. اضرب كل الإحداثيات في ٢ وارسم البيت الجديد. ثم اضرب إحداثيات البيت الأول في ١/٢. قارن الرسوم الثلاثة.
Practice
1
أوجد صورة (٤, −٦) بتمدد حول نقطة الأصل معامله k = ١/٢.
(٢, −٣).
2
أوجد صورة (−٢, ٥) بمعامل k = ٣.
(−٦, ١٥).
3
لنقطة صورة (٦, ٩) بمعامل k = ٣. ما النقطة التي تمددت؟
(٢, ٣) بالقسمة على ٣.
4
أي معامل يعطي تصغيرًا: ١٢٠% أم ٥٠% أم ١٠٠% أم ٢٥٠%؟
٥٠% فقط (= ٠٫٥).
5
المثلث (٠, ٠) و(٤, ٠) و(٠, ٣) تمدد بمعامل k = ٢. أوجد الصورة والمساحتين.
الصورة (٠, ٠) و(٨, ٠) و(٠, ٦). المساحتان ٦ و٢٤، و٢٤ = ٤ × ٦ = ٢² × ٦.