1
النسب المضبوطة لـ ٣٠° و ٤٥° و ٦٠° من المثلث المتساوي الأضلاع والمربع
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 5
Goalأجد sin وcos وtan للزوايا ٣٠° و٤٥° و٦٠° بقيم مضبوطة، وأستخدمها في العبارات والأضلاع.
New words
المثلث المتساوي الأضلاع · مثلث أضلاعه الثلاثة متساوية وزواياه ٦٠°الارتفاع · العمود النازل من رأس على الضلع المقابلقطر المربع · مربع طول ضلعه ١ طول قطره √٢القيمة المضبوطة · جواب نتركه كسرًا أو بجذر دون تقريب
Explanation
نأخذ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ٢ ونرسم أحد ارتفاعاته. فينقسم إلى مثلثين قائمين زواياهما ٣٠° و٦٠° و٩٠°. الساق القصيرة ١ (نصف الضلع) والوتر ٢ والارتفاع √(٤ − ١) = √٣. نقرأ النسب: sin ٣٠° = ١/٢ وcos ٣٠° = √٣/٢ وtan ٣٠° = ١/√٣، وللزاوية ٦٠° تتبادل: sin ٦٠° = √٣/٢ وcos ٦٠° = ١/٢ وtan ٦٠° = √٣. ثم مربع طول ضلعه ١: قطره √٢ ويصنع ٤٥° مع الضلع. إذن sin ٤٥° = cos ٤٥° = ١/√٢ = √٢/٢ وtan ٤٥° = ١. هذه القيم التسع تستحق الحفظ لأنها تظهر دون آلة حاسبة.
| θ | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| ٣٠° | ١/٢ | √٣/٢ | ١/√٣ |
| ٤٥° | √٢/٢ | √٢/٢ | ١ |
| ٦٠° | √٣/٢ | ١/٢ | √٣ |
Worked examples
في نصف المثلث المتساوي الأضلاع في الصورة (٣٠° و٦٠° و٩٠°) ووتره ١٠ م: الضلع المقابل لـ٣٠° هو ١٠ × sin ٣٠° = ٥ م، والمجاور لـ٣٠° هو ١٠ × cos ٣٠° = ٥√٣ م.
مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٨ م. ارتفاعه يصنع ٦٠° مع القاعدة فالارتفاع ٨ × sin ٦٠° = ٨ × √٣/٢ = ٤√٣ م.
مربع طول ضلعه ٥ سم. قطره يصنع ٤٥° مع الضلع فالقطر ٥ ÷ cos ٤٥° = ٥ ÷ (√٢/٢) = ٥√٢ سم.
احسب sin ٦٠° cos ٣٠° − cos ٦٠° sin ٣٠° = (√٣/٢)(√٣/٢) − (١/٢)(١/٢) = ٣/٤ − ١/٤ = ١/٢.
Class activity
اطوِ وقِس. قصّ مربعًا من الورق واطوِه على القطر. قِس الضلع والقطر واقسم: القطر ÷ الضلع قريب من ١٫٤١٤ (وهو √٢).
Practice
1
اكتب sin ٣٠° وcos ٦٠° وtan ٤٥° بقيمها المضبوطة.
١/٢ و١/٢ و١.
2
احسب sin²٣٠° + cos²٦٠°.
(١/٢)² + (١/٢)² = ١/٤ + ١/٤ = ١/٢.
3
احسب tan ٦٠° × tan ٣٠°.
√٣ × ١/√٣ = ١.
4
مثلث ٣٠°-٦٠°-٩٠° وتره ٣٠ م. أوجد الساق القصيرة.
٣٠ × sin ٣٠° = ١٥ م.
5
بيّن أن sin ٤٥° × cos ٤٥° = ١/٢.
(√٢/٢)(√٢/٢) = ٢/٤ = ١/٢.