1
زاوية ميل المستقيم وميله: m = tan θ وm = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 6
Goalأجد ميل المستقيم من نقطتين ومن زاوية ميله.
New words
الميل · مقدار انحدار المستقيم: الارتفاع ÷ الامتداد ويُرمز له mزاوية الميل · الزاوية θ بين المستقيم والاتجاه الموجب لمحور السينات مقيسة عكس عقارب الساعةالارتفاع والامتداد · التغير في y والتغير في x بين نقطتينالمستقيم الرأسي · مستقيم x = c وميله غير معرّف
Explanation
الميل m يبيّن مدى انحدار المستقيم. نأخذ نقطتين عليه (x₁, y₁) و(x₂, y₂). الارتفاع y₂ − y₁ والامتداد x₂ − x₁ وm = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). لا يهم أي النقطتين نبدأ بها بشرط أن نستعمل الترتيب نفسه في البسط والمقام. والميل نفسه m = tan θ حيث θ زاوية الميل المقيسة من الاتجاه الموجب لمحور السينات حتى المستقيم. المستقيم الصاعد نحو اليمين m > ٠ وθ < ٩٠°؛ والهابط نحو اليمين m < ٠ وتكون θ بين ٩٠° و١٨٠°، وتساوي ١٨٠° + tan⁻¹ m (عندما تعطي الآلة زاوية سالبة). المستقيم الأفقي m = ٠ (θ = ٠°). والرأسي لا ميل له.
Worked examples
المستقيم المار بالنقطتين A(١, ١) وB(٤, ٧): m = (٧ − ١) ÷ (٤ − ١) = ٦/٣ = ٢. وزاويته θ = tan⁻¹ ٢ ≈ ٦٣٫٤٣°.
المستقيم المار بـ(−١, ٥) و(٣, ١): m = (١ − ٥) ÷ (٣ − (−١)) = −٤/٤ = −١. تعطي الآلة tan⁻¹(−١) = −٤٥° فـθ = ١٨٠° − ٤٥° = ١٣٥°.
مستقيم زاوية ميله ٤٥°: m = tan ٤٥° = ١. ومستقيم زاوية ميله ٦٠°: m = tan ٦٠° = √٣.
Class activity
درج. قِس ارتفاع درجة واحدة وعمقها بالسنتيمتر. ميل الدرج هو الارتفاع ÷ العمق. أوجد الزاوية بـtan⁻¹.
Practice
1
أوجد ميل المستقيم المار بـ(٢, ٣) و(٦, ١١).
(١١ − ٣) ÷ (٦ − ٢) = ٨/٤ = ٢.
2
أوجد الميل المار بـ(−٢, ٤) و(١, −٥).
(−٥ − ٤) ÷ (١ + ٢) = −٩/٣ = −٣.
3
مستقيم زاوية ميله ٤٥°. اكتب ميله. وما ميل المستقيم الأفقي؟
tan ٤٥° = ١؛ الأفقي: ٠.
4
طريق يرتفع ٣ م على مسافة أفقية ٤ م. أوجد ميله وزاويته لأقرب درجة.
m = ٣/٤ وθ = tan⁻¹(٠٫٧٥) ≈ ٣٧°.
5
لماذا لا ميل للمستقيم الرأسي x = ٣؟
نقطتان عليه لهما قيمة x نفسها فالامتداد ٠ ولا نقسم على ٠.