1
الدالة التربيعية f(x) = ax² + bx + c: المنحنى ونقطة التقاطع مع محور الصادات والرأس عند x = −b/٢a
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 1
Goalأتعرّف الدالة التربيعية، وأوجد مقطعها الصادي، وأوجد رأس منحناها.
New words
الدالة التربيعية · f(x) = ax² + bx + c حيث a ≠ ٠، ومجالها جميع الأعداد الحقيقيةالمنحنى (القطع المكافئ) · المنحنى الذي يمثل الدالة التربيعيةالرأس · نقطة الانعطاف في المنحنى وتقع على محور التماثلمحور التماثل · المستقيم الرأسي المار بالرأس والذي يقسم المنحنى إلى نصفين متماثلين
Explanation
الدالة التربيعية صورتها f(x) = ax² + bx + c حيث a ≠ ٠ (فإذا كان a = ٠ حصلنا على مستقيم). ومنحناها قطع مكافئ له محور تماثل رأسي. المقطع الصادي حيث x = ٠ فهو f(٠) = c أي النقطة (٠, c). وأين الرأس؟ نحل f(x) = c: ax² + bx = ٠ أي x(ax + b) = ٠ فنحصل على x = ٠ وx = −b/a. للنقطتين الارتفاع نفسه، فمحور التماثل في منتصف المسافة بينهما تمامًا عند x = −b/٢a. والرأس هو النقطة (−b/٢a , f(−b/٢a)): نجد إحداثيه السيني أولًا ثم نعوّض في f لنحصل على الإحداثي الصادي.
Worked examples
أوجد الرأس والمقطع الصادي للدالة f(x) = x² − ٦x + ٥. هنا a = ١ وb = −٦ وc = ٥. الإحداثي السيني للرأس −b/٢a = ٦/٢ = ٣. ثم f(٣) = ٩ − ١٨ + ٥ = −٤ فالرأس (٣, −٤). والمقطع الصادي f(٠) = ٥. تحقق من التماثل: f(٦) = ٣٦ − ٣٦ + ٥ = ٥ والعدد ٣ في منتصف المسافة بين ٠ و٦ ✓
أوجد رأس الدالة f(x) = −٢x² + ٨x − ٣. هنا a = −٢ وb = ٨ وc = −٣. الإحداثي السيني −٨ ÷ (٢ × (−٢)) = −٨ ÷ (−٤) = ٢. ثم f(٢) = −٨ + ١٦ − ٣ = ٥. الرأس (٢, ٥) والمقطع الصادي (٠, −٣).
لأي قيم للعدد m تكون f(x) = (m − ٤)x² + ٥x − ١ دالة تربيعية؟ يلزم a ≠ ٠ أي m − ٤ ≠ ٠ وm ≠ ٤. وعندما m = ٤ تصبح القاعدة ٥x − ١ وهي مستقيم.
Class activity
ارتفاعات متساوية. للدالة f(x) = x² − ٦x + ٥ أوجد f(١) وf(٥)، ثم f(٢) وf(٤). ماذا تلاحظ في كل زوج؟ وما قيمة x التي تقع في منتصف كل زوج؟
Practice
1
هل f(x) = x(x − ٥) + ٣ دالة تربيعية؟ اذكر a وb وc.
نفك القوس: x² − ٥x + ٣. نعم: a = ١ وb = −٥ وc = ٣.
2
أوجد رأس الدالة f(x) = x² + ٤x + ١.
x = −٤/٢ = −٢ وf(−٢) = ٤ − ٨ + ١ = −٣. الرأس (−٢, −٣).
3
ما المقطع الصادي للدالة f(x) = ٢x² − ٧x + ٩؟
f(٠) = ٩ فالمنحنى يقطع محور الصادات في (٠, ٩).
4
النقطة (٢, k) تقع على منحنى f(x) = x² − ٦x + ٥. أوجد k.
k = f(٢) = ٤ − ١٢ + ٥ = −٣.
5
هل النقطة (٤, ١) على منحنى f(x) = x² − ٦x + ٥؟ قرّر.
f(٤) = ١٦ − ٢٤ + ٥ = −٣ وليس ١. إذن (٤, ١) ليست على المنحنى، أما (٤, −٣) فعليه.