3
معادلات النسب المثلثية، والارتفاعات والمسافات
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 5
Goalأحل معادلات مثلثية بسيطة وأستخدم زوايا الارتفاع لإيجاد الارتفاعات والمسافات.
New words
زاوية الارتفاع · الزاوية فوق الأفقي عندما ننظر إلى الأعلىأفقي · مستوٍ موازٍ للأرضحل المعادلة · إيجاد الزاوية أو الضلع الذي يحقق المعادلةالتقريب · لمنزلتين عشريتين أو لأقرب متر حسب المطلوب
Explanation
لحل معادلة مثلثية نعزل النسبة أولًا ثم نتعرّف على الزاوية. ٢ sin θ = ١ تعطي sin θ = ١/٢ فـθ = ٣٠°. وtan θ = √٣ تعطي θ = ٦٠°. وإذا لم تكن القيمة في جدولنا نستخدم المفتاح العكسي. وفي الارتفاعات والمسافات نرسم مثلثًا قائمًا: زاوية الارتفاع تُقاس من الأفقي عند عين الراصد. نختار النسبة التي فيها الضلع المعلوم والضلع المطلوب: مقابل ومجاور ← tan؛ مقابل ووتر ← sin؛ مجاور ووتر ← cos. مثال: نقف على بعد ١٢ م من شجرة وزاوية ارتفاع قمتها ٣٠°. الارتفاع ١٢ × tan ٣٠° = ١٢/√٣ = ٤√٣ ≈ ٦٫٩٣ م (دون طول الراصد).
Worked examples
حل ٢cos θ − ١ = ٠ لزاوية حادة θ. cos θ = ١/٢ فـθ = ٦٠°.
سلّم طوله ٦ م يستند إلى حائط بزاوية ٦٠° مع الأرض. الارتفاع ٦ × sin ٦٠° = ٣√٣ ≈ ٥٫٢٠ م، وبعد القدم ٦ × cos ٦٠° = ٣ م.
من مسافة ٢٠ م عن برج تبلغ زاوية ارتفاع قمته ٣٥°. الارتفاع ٢٠ × tan ٣٥° ≈ ٢٠ × ٠٫٧٠٠٢ ≈ ١٤٫٠٠ م.
Class activity
قِس ارتفاعًا. اصنع مقياس زوايا بسيطًا، وقف على مسافة معلومة من عمود إنارة أو شجرة، وقِس زاوية الارتفاع، ثم احسب الارتفاع بـtan. قارن نتيجتك بنتيجة صديق.
Practice
1
حل tan θ = ١ لزاوية حادة θ.
θ = ٤٥°.
2
حل ٢ sin θ = √٣.
sin θ = √٣/٢ فـθ = ٦٠°.
3
خيط طائرة ورقية طوله ٥٠ م يصنع ٤٠° مع الأرض (مشدود). كم ارتفاع الطائرة؟
٥٠ × sin ٤٠° ≈ ٥٠ × ٠٫٦٤٢٨ ≈ ٣٢٫١٤ م.
4
من نقطة تبعد ٤٨ م عن قاعدة مبنى تبلغ زاوية ارتفاع قمته ٣٠°. أوجد الارتفاع لمنزلتين عشريتين.
٤٨ × tan ٣٠° = ٤٨/√٣ ≈ ٢٧٫٧١ م.
5
منحدر يرتفع ٧ م على مسافة أفقية ٢٤ م. أوجد زاويته مع الأرض لأقرب درجة.
tan θ = ٧/٢٤ وθ = tan⁻¹(٧/٢٤) ≈ ١٦°.